В биномиальное приближение полезен для приблизительного расчета полномочия суммы 1 и небольшого числа Икс. В нем говорится, что
![(1 + x) ^ альфа примерно 1 + альфа х.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c05e5fb59215d783e80ac0bcace42f1e91cf6083)
Это действительно когда
и
куда
и
может быть настоящий или же сложные числа.
Преимущество этого приближения в том, что
преобразуется из экспоненты в мультипликативный коэффициент. Это может значительно упростить математические выражения (как в пример ниже ) и является обычным инструментом в физике.[1]
Приближение можно проверить несколькими способами, и оно тесно связано с биномиальная теорема. К Неравенство Бернулли, левая часть приближения больше или равна правой части, когда
и
.
Производные
Использование линейного приближения
Функция
![f (x) = (1 + x) ^ {альфа}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a97d0a3c44850e129c1a5f4ced0eb7e347b70a6)
это гладкая функция за Икс около 0. Таким образом, стандартный линейное приближение инструменты из исчисление применить: есть
![f '(x) = альфа (1 + x) ^ {альфа - 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6e24f5625d18d4ba9d7bc4d7890f87952920527)
и так
![f '(0) = альфа.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63c5c5765b45086fe0f43e95510ce32d5a50ec82)
Таким образом
![f (x) приблизительно f (0) + f '(0) (x - 0) = 1 + альфа x.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39cbcb7d94f1e75f3f3eba6f88cce156610714f)
К Теорема Тейлора, погрешность этого приближения равна
за некоторую стоимость
который находится между 0 и Икс. Например, если
и
, ошибка не более
. В небольшое обозначение, можно сказать, что ошибка
, означающий, что
.
Использование серии Тейлора
Функция
![{displaystyle f (x) = (1 + x) ^ {альфа}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a97d0a3c44850e129c1a5f4ced0eb7e347b70a6)
куда
и
может быть реальным или сложным, может быть выражено как Серия Тейлор о нулевой точке.
![{displaystyle {egin {align} f (x) & = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {f ^ {(n)} (0)} {n!}} x ^ {n} f (x) & = f (0) + f '(0) x + {frac {1} {2}} f' '(0) x ^ {2} + {frac {1} {6}} f' '' (0) x ^ {3} + {frac {1} {24}} f ^ {(4)} (0) x ^ {4} + cdots (1 + x) ^ {alpha} & = 1 + alpha x + {frac {1} {2}} альфа (альфа -1) x ^ {2} + {frac {1} {6}} альфа (альфа -1) (альфа -2) x ^ {3} + {frac {1} {24}} альфа (альфа -1) (альфа -2) (альфа -3) x ^ {4} + cdots конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe94aa526854742eff2675a5aee0440d4dbb035)
Если
и
≪
, то члены в ряду постепенно становятся меньше, и его можно усечь до
.
Этот результат биномиального приближения всегда можно улучшить, сохранив дополнительные члены из приведенного выше ряда Тейлора. Это особенно важно, когда
начинает приближаться к одному, или при оценке более сложного выражения, в котором первые два члена в ряду Тейлора сокращаются (см. пример ).
Иногда ошибочно утверждают, что
≪
является достаточным условием биномиального приближения. Простой контрпример - позволить
и
. В этом случае
но биномиальное приближение дает
. Для малых
но большой
, лучшее приближение:
![{displaystyle (1 + x) ^ {alpha} приблизительно e ^ {alpha x.}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/210f40389c1a20f7311b6b20bc71c19debcbd148)
Примеры
Пример упрощения
Рассмотрим следующее выражение, где
и
реальны, но
≫
.
![{displaystyle {frac {1} {sqrt {a + b}}} - {frac {1} {sqrt {a-b}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de887b5faf32edd8cd644aca7886446854b0c0c8)
Математическую форму биномиального приближения можно восстановить, вычленив большой член
и напомним, что квадратный корень равен степени половины.
![{displaystyle {egin {align} {frac {1} {sqrt {a + b}}}} - {frac {1} {sqrt {ab}}} & = {frac {1} {sqrt {a}}} left ( left (1+ {frac {b} {a}} ight) ^ {- 1/2} -left (1- {frac {b} {a}} ight) ^ {- 1/2} ight) & приблизительно { frac {1} {sqrt {a}}} left (left (1 + left (- {frac {1} {2}} ight) {frac {b} {a}} ight) -left (1-left (- {frac {1} {2}} ight) {frac {b} {a}} ight) ight) & примерно {frac {1} {sqrt {a}}} влево (1- {frac {b} {2a} } -1- {frac {b} {2a}} ight) & приблизительно - {frac {b} {a {sqrt {a}}}} конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee0a76a5bf01f9ecb0fe6a890bedd24ab1a9e3a5)
Очевидно, выражение линейно по
когда
≫
что в противном случае не очевидно из исходного выражения.
Пример сохранения квадратичного члена
Рассмотрим выражение:
![{displaystyle (1 + эпсилон) ^ {n} - (1-эпсилон) ^ {- n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5d263fa54a60931aa6ea6b472d9a03241b77e64)
куда
и
≪
. Если сохранить только линейный член из биномиального приближения
тогда выражение бесполезно упрощается до нуля
.
Хотя выражение небольшое, оно не совсем равно нулю. Можно извлечь ненулевое приближенное решение, сохранив квадратичный член в ряду Тейлора, т.е.
а сейчас,
![{displaystyle {egin {выравнивается} (1 + эпсилон) ^ {n} - (1-эпсилон) ^ {- n} & приблизительно (1 + nepsilon + {frac {1} {2}} n (n-1) эпсилон ^ {2}) - (1 + (- n) (- эпсилон) + {frac {1} {2}} (- n) (- n-1) (- эпсилон) ^ {2}) & приблизительно (1+ непсилон + {frac {1} {2}} n (n-1) эпсилон ^ {2}) - (1 + непсилон + {frac {1} {2}} n (n + 1) эпсилон ^ {2}) & приблизительно {frac {1} {2}} n (n-1) эпсилон ^ {2} - {frac {1} {2}} n (n + 1) эпсилон ^ {2} & приблизительно {frac {1} {2}} непсилон ^ {2} ((n-1) - (n + 1)) & приблизительно -непсилон ^ {2} конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc4212270a50074a412a9bcabfe21da57ff2ffdc)
Этот результат квадратичен по
поэтому он не появился, когда только линейные по
были сохранены.
Рекомендации
- ^ Например, расчет мультипольное расширение. Гриффитс, Д. (1999). Введение в электродинамику (Третье изд.). Pearson Education, Inc., стр. 146–148.