Теорема Картана – Амброуза – Хикса. - Cartan–Ambrose–Hicks theorem - Wikipedia

В математика, то Теорема Картана – Амброуза – Хикса. это теорема Риманова геометрия, согласно которому Риманова метрика локально определяется Тензор кривизны Римана, или другими словами, поведение тензора кривизны при параллельном переносе определяет метрику.

Теорема названа в честь Эли Картан, Уоррен Эмброуз и его аспирант Ноэль Хикс.[1] Картан доказал местную версию. Амвросий доказал глобальную версию, которая допускает изометрии между общими Римановы многообразия с переменной кривизной, в 1956 г.[2] Это было далее обобщено Хиксом на общие многообразия с аффинные связи в их касательные пучки, в 1959 г.[3]

Формулировку и доказательство теоремы можно найти в [4]

Вступление

Позволять быть связными полными римановыми многообразиями. Позволять , и разреши

быть линейным изометрия. Для достаточно малых , то экспоненциальные карты

являются локальными диффеоморфизмами. Здесь, мяч сосредоточен на радиуса Затем определяется диффеоморфизм к

Для геодезический с , сопоставляет его с геодезической с ,. Позволять быть параллельным транспортом по (определяется Леви-Чивита связь ), и быть параллельным транспортом по . Затем мы определяем

за .

Теорема Картана

Первоначальная теорема доказана Картан является локальной версией теоремы Картана – Амброуза – Хикса. В нем говорится, что является (локальной) изометрией, если для всех геодезических с и все , у нас есть , куда являются тензорами кривизны Римана .

Обратите внимание, что вообще не обязательно должен быть диффеоморфизмом, а только локально изометрическим карта покрытия. Тем не мение, должна быть глобальной изометрией, если просто связано.

Теорема Картана – Амброуза – Хикса.

Теорема: Для тензоров кривизны Римана и все ломаные геодезические (ломаная геодезическая - это кусочно-геодезическая кривая) с ,

для всех .

Тогда, если две ломаные геодезические, начинающиеся в имеют ту же конечную точку, то соответствующие изломанные геодезические (отображаемые ) в также имеют ту же конечную точку. Итак, существует карта

путем сопоставления сломанных геодезических конечных точек в к соответствующим геодезическим конечным точкам в .

Карта является локально изометрическим накрывающим отображением.

Если тоже односвязно, то это изометрия.

Локально-симметричные пространства

Риманово многообразие называется локально симметричный если его тензор кривизны Римана инвариантен относительно параллельного переноса:

Односвязное риманово многообразие локально симметрично, если оно симметричное пространство.

Из теоремы Картана – Амброуза – Хикса имеем:

Теорема: Позволять - связные полные локально симметричные римановы многообразия, и пусть быть просто связным. Пусть их тензоры кривизны Римана равны . Позволять и

- линейная изометрия с . Тогда существует локально изометрическое накрывающее отображение

с и .

Следствие: Любое полное локально симметричное пространство имеет вид для симметричного пространства и это дискретная подгруппа изометрий .

Классификация космические формы

В качестве приложения теоремы Картана – Амброуза – Хикса любое односвязное полное риманово многообразие с константой секционная кривизна соответственно изометрично п-сфера , то п-Евклидово пространство , а п-гиперболическое пространство .

Рекомендации

  1. ^ Проект "Математическая генеалогия", запись для Ноэля Джастина Хикса
  2. ^ Амвросий, В. (1956). «Параллельный перенос римановой кривизны». Анналы математики. JSTOR. 64 (2): 337. Дои:10.2307/1969978. ISSN  0003-486X.
  3. ^ Хикс, Ноэль (1959). «Теорема об аффинных связях». Иллинойсский журнал математики. 3 (2): 242–254. Дои:10.1215 / ijm / 1255455125. ISSN  0019-2082.
  4. ^ Чигер, Джефф; Эбин, Дэвид Г. (2008). «Глава 1, раздел 12, Теорема Картана – Амброуза – Хикса». Теоремы сравнения в римановой геометрии. Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Pub. ISBN  0-8218-4417-2. OCLC  185095562.