Категория топологических векторных пространств - Category of topological vector spaces

В математика, то категория топологических векторных пространств это категория чей объекты находятся топологические векторные пространства и чей морфизмы находятся непрерывные линейные карты между ними. Это категория, потому что сочинение двух непрерывных линейных карт снова является непрерывным линейным отображением. Категория часто обозначается TVect или же TVS.

Исправление топологическое поле K, можно также рассмотреть подкатегория TVect_K топологических векторных пространств над K с непрерывным K-линейные отображения как морфизмы.

TVect - это конкретная категория

Как и многие категории, категория TVect это конкретная категория, то есть его объекты наборы с дополнительной структурой (т.е. векторное пространство структура и топология ) и его морфизмы функции сохраняя эту структуру. Есть очевидные забывчивые функторы в категория топологических пространств, то категория векторных пространств и категория наборов.

TVect_{${displaystyle K}$} топологическая категория

Категория является топологической, что означает, грубо говоря, что она относится к своей «основной категории», категории векторных пространств, так же, как и Вершина имеет отношение к Набор. Формально для каждого K-векторное пространство ${displaystyle V}$ и каждая семья ${displaystyle ((V_ {i}, au _ {i}), f_ {i}) _ {iin I}}$ топологических K-векторные пространства ${displaystyle (V_ {i}, au _ {i})}$ и K-линейные карты ${displaystyle f_ {i}: V o V_ {i},}$ существует топология векторного пространства ${displaystyle au}$ на ${displaystyle V}$ чтобы выполнялось следующее свойство:

В любое время ${displaystyle g: Z o V}$ это K-линейное отображение из топологической K-векторное пространство ${displaystyle (Z, sigma),}$ он считает, что

${displaystyle g: (Z, sigma) o (V, au)}$ непрерывно ${displaystyle iff}$ ${displaystyle forall iin I: f_ {i} circ g: (Z, sigma) o (V_ {i}, au _ {i})}$ непрерывно.

Топологическое векторное пространство ${displaystyle (V, au)}$ называется «исходным объектом» или «исходной структурой» по отношению к заданным данным.

Если заменить «векторное пространство» на «множество» и «линейную карту» на «карту», ​​получится характеристика обычных исходных топологий в Вершина. По этой причине категории с этим свойством называют «топологическими».

Это свойство имеет многочисленные последствия. Например:

• Существуют «дискретные» и «недискретные» объекты. Топологическое векторное пространство недискретно тогда и только тогда, когда оно является исходной структурой по отношению к пустому семейству. Топологическое векторное пространство является дискретным тогда и только тогда, когда оно является исходной структурой по отношению к семейству всех возможных линейных отображений во все топологические векторные пространства. (Это семейство является подходящим классом, но это не имеет значения: исходные структуры по отношению ко всем классам существуют, если и только если они существуют по отношению ко всем множествам)
• Конечные структуры (аналогичные определенные аналоги конечных топологий) существуют. Но есть загвоздка: хотя исходная структура указанного выше свойства на самом деле является обычной начальной топологией на ${displaystyle V}$ относительно ${displaystyle (au _ ​​{i}, f_ {i}) _ {iin I}}$, окончательные структуры не обязательно должны быть окончательными по отношению к данным картам в смысле Вершина. Например: дискретные объекты (= окончательные по отношению к пустому семейству) в ${displaystyle {extbf {TVect}} _ {K}}$ не несут дискретную топологию.
• Поскольку следующая диаграмма забывчивых функторов коммутирует

${displaystyle {egin {array} {ccc} {extbf {Vect}} _ {K} & ightarrow & {extbf {Set}} uparrow && uparrow {extbf {TVect}} _ {K} & ightarrow & {extbf {Top}} конец {массив}}}$

и забывчивый функтор из ${displaystyle {extbf {Vect}} _ {K}}$ к Набор правосопряженный, забывчивый функтор из ${displaystyle {extbf {TVect}} _ {K}}$ к Вершина также является правым сопряженным (и соответствующие левые сопряженные элементы помещаются в аналоговую коммутативную диаграмму). Этот левый сопряженный определяет «свободные топологические векторные пространства». Явно это бесплатно K-векторные пространства с определенной начальной топологией.

• С^{[требуется разъяснение ]} ${displaystyle {extbf {Vect}} _ {K}}$ является (со) полным, ${displaystyle {extbf {TVect}} _ {K}}$ тоже (со) завершено.

Рекомендации

• Ланг, Серж (1972). Дифференциальные коллекторы. Ридинг, Массачусетс - Лондон - Дон Миллс, Онтарио: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.