E∞-операда - E∞-operad

В теории операды в алгебра и алгебраическая топология, E∞-операционная пространство параметров для карты умножения, которая ассоциативный и коммутативный "до всех высших гомотопии ". (Операда, которая описывает умножение, которое является ассоциативным, но не обязательно коммутативным" с точностью до гомотопии ", называется А∞-операционная.)

Определение

Для определения необходимо работать в категории операд с действием симметричная группа. Операда А называется E∞-оперативно, если все его пробелы E(п) являются стягиваемыми; некоторые авторы также требуют действия симметрической группы Sп на E(п) быть свободным. В другом категории чем топологические пространства, понятие сократимость необходимо заменить подходящими аналогами, такими как ацикличность в категории цепные комплексы.

Eп-операции и п-кратные пространства петель

Письмо E в терминологии означает «все» (что означает ассоциативный и коммутативный), а символы бесконечности говорят, что коммутативность требуется до «всех» высших гомотопий. В более общем плане существует более слабое понятие Eп-операционная (п ∈ N), параметризующие умножения, коммутативные только до определенного уровня гомотопий. Особенно,

  • E1-пространства А∞-пространства;
  • E2-пространства гомотопически коммутативны А∞-пространства.

Важность Eп- и E∞-операции в топологии проистекает из того факта, что пространства петель, т. е. пространства непрерывных отображений из п-мерная сфера в другое пространство Икс начинающиеся и заканчивающиеся в фиксированной базовой точке, составляют алгебры над Eп-операционная. (Один говорит, что они Eп-пространства.) Наоборот, любые связанные Eп-Космос Икс является ппространство петли на некотором другом пространстве (называемом BпИкс, то п-складывать классификация пространства из X).

Примеры

Самый очевидный, если не особо полезный, пример E∞-операция - это коммутативная операда c данный c(п) = *, точка, для всех п. Обратите внимание, что, по мнению некоторых авторов, это не совсем E∞-операция, потому что Sп-Действие не является бесплатным. Эта операда описывает строго ассоциативные и коммутативные умножения. По определению любой другой E∞-operad имеет карту для c что является гомотопической эквивалентностью.

В операда маленький п-кубики или же маленький п-диски является примером Eп-операция, которая естественно действует на ппространства петель.

Смотрите также

Рекомендации

  • Сташефф, Джим (Июнь – июль 2004 г.). "Что такое ... операда?" (PDF ). Уведомления Американского математического общества. 51 (6): 630–631. Получено 2008-01-17.