Эквиареальная карта (математика) - Equiareal map (mathematics)

В дифференциальная геометрия, эквивалентная карта (или равноплощадочная карта) это гладкая карта от одного поверхность другому, который сохраняет области фигур.

Свойства

Если M и N две поверхности в Евклидово пространство р³, то равноплощадное отображение ж может характеризоваться любым из следующих эквивалентных условий:

В площадь поверхности из ж(U) равна площади U для каждого открытый набор U на M.
В откат из элемент площади μ_N на N равно μ_M, элемент площади на M.
В каждой точке п из M, и касательные векторы v и ш к M в п,

{ Displaystyle | df_ {p} (v) times df_ {p} (w) | = | v times w | ,}

где × обозначает евклидову перекрестное произведение векторов и df обозначает продвигать вдоль ж.

пример

Пример эквиреальной карты из-за Архимед Сиракузский, - проекция из единичной сферы Икс² + у² + z² = 1 к цилиндру агрегата Икс² + у² = 1 наружу от их общей оси. Явная формула

{ displaystyle f (x, y, z) = left ({ frac {x} { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}, { frac {y} { sqrt { x ^ {2} + y ^ {2}}}}, z right)}

за (Икс, у, z) точка на единичной сфере.

Линейные преобразования

Каждый Евклидова изометрия из Евклидова плоскость равнозначно, но обратное неверно. Фактически, картирование сдвига и сжатие являются контрпримерами к обратному.

При картировании сдвига прямоугольник превращается в параллелограмм той же площади. Записанное в матричной форме отображение

{ displaystyle (x, y) { begin {pmatrix} 1 & 0 v & 1 end {pmatrix}} = (x + vy, y).}

Обычное приложение в классическом кинематика куда у - временная величина (время). В этом контексте сдвиг - это Преобразование Галилея.

Сопоставление со сжатием удлиняет и сжимает стороны прямоугольника взаимно, так что область сохраняется. Записано в матричной форме, при λ> 1 сжатие читается как

{ displaystyle (x, y) { begin {pmatrix} lambda & 0 0 & 1 / lambda end {pmatrix}} = ( lambda x, y / lambda).}

В релятивистской кинематике скорость света c является супремумом для скорости. Гиперболы ху = k устойчивы при сдавливании. Скорость, изображенная на гиперболе и называемая быстрота, преобразуется «гиперболическим вращением» в пределах (–c, c).

Согласно внешней алгебре линейное преобразование ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & c b & d end {pmatrix}}}$ умножает площадь на величину ее детерминант объявление – до н.э. Эти вращение, сдвиг и сжатие исчерпывают типы эквиареальных линейных преобразований, показанные на 2 × 2 вещественные матрицы как комплексные числа. Эти отображения образуют специальную линейную группу SL (2, R).

В картографических проекциях

В контексте географические карты, а картографическая проекция называется равновеликий, эквивалент, аутентичный, равнозначный, или же сохраняющий территорию, если площади сохранены до постоянного коэффициента; встраивание целевой карты, обычно считается подмножеством р², очевидным образом в р³, тогда указанное выше требование ослабляется до:

{ Displaystyle | df_ {p} (v) times df_ {p} (w) | = kappa | v times w |}

для некоторых κ > 0 не в зависимости от ${ displaystyle v}$ и ${ displaystyle w}$ Примеры таких проекций см. равновеликая картографическая проекция.

Смотрите также

Матрица Якоби и определитель