Фрактальная струна - Fractal string - Wikipedia

Обычные фрактальные струны

Обычный фрактал нить ограниченное открытое подмножество вещественной числовой прямой. Любое такое подмножество можно записать как максимум -счетный объединение связанных открытые интервалы с соответствующей длиной написано в невозрастающем порядке. Мы разрешаем состоять из конечного числа открытых интервалов, и в этом случае состоит из конечного числа длин. Мы ссылаемся на как фрактальная струна.

Пример

В набор Кантора средней трети строится удалением средней трети из единичного интервала , затем удаляя средние трети последующих интервалов, до бесконечности. Удаленные интервалы иметь соответствующую длину . Индуктивно мы можем показать, что есть интервалы, соответствующие каждой длине . Таким образом, мы говорим, что множественность длины является .

Эвристический

Геометрическая информация набора Кантора в приведенном выше примере содержится в обычной фрактальной струне. . Из этой информации мы можем вычислить размер подсчета коробок множества Кантора. Это понятие фрактальная размерность можно обобщить до сложное измерение, что даст нам полную геометрическую информацию о локальных колебаниях в геометрии множества Кантора.

Геометрическая дзета-функция

Если мы говорим, что имеет геометрическую реализацию в , где интервалы в , всех длин , взятые с кратностью.

Для каждой фрактальной струны , мы можем связать геометрическая дзета-функция определяется как ряд Дирихле . Полюсы геометрической дзета-функции называются комплексными измерениями фрактальной струны . Общая философия теории сложных размерностей для фрактальных струн заключается в том, что комплексные измерения описывают внутренние колебания в геометрии, спектрах и динамике фрактальной струны. .

В абсцисса схождения из определяется как .

Для фрактальной струны с бесконечным числом ненулевых длин абсцисса сходимости совпадает с Минковского измерение границы струны, . В нашем примере граничная строка Кантора - это само множество Кантора. Таким образом, абсцисса сходимости геометрической дзета-функции - размерность Минковского канторовского множества, равная .

Сложные размеры

Для фрактальной струны , состоящий из бесконечной последовательности длин, сложные размеры фрактальной струны - это полюса аналитического продолжения геометрической дзета-функции, связанной с фрактальной струной. (Когда аналитическое продолжение геометрической дзета-функции не определено для всей комплексной плоскости, мы берем подмножество комплексной плоскости, называемое «окном», и ищем «видимые» комплексные измерения, которые существуют в этом окне.[1])

Пример

Продолжая пример фрактальной струны, связанной с канторовским множеством средних третей, мы вычисляем . Мы вычисляем абсцисса схождения быть ценностью удовлетворение , так что это Минковского измерение множества Кантора.

Для сложных , имеет полюса на бесконечном множестве решений , которые в данном примере происходят при , для всех целых чисел . Этот набор точек называется набором сложных измерений канторовского множества средних третей.

Приложения

Для фрактальных строк, связанных с наборами, подобными наборам Кантора, сформированных из удаленных интервалов, которые рациональный степени основной длины, комплексные измерения появляются в регулярной арифметической прогрессии, параллельной мнимой оси, и называются решетка фрактальные струны. Наборы, не имеющие этого свойства, называются нерешетчатый. В теории мер таких объектов существует дихотомия: обычная фрактальная струна измерима по Минковскому тогда и только тогда, когда она нерешетчатая.

Было высказано предположение, что существование нереальных сложных измерений с положительной действительной частью является характерной чертой фрактальных объектов.[1] Формально Мишель Лапидус и Махиэль ван Франкенхейсен предлагают определять «фрактальность» как наличие хотя бы одного нереального комплексного измерения с положительной действительной частью.[1] Это новое определение фрактальности решает некоторые старые проблемы фрактальной геометрии. Например, все могут согласиться с тем, что Дьявольская лестница Кантора является фракталом, что и есть с этим новым определением фрактальности в терминах комплексных измерений, но не в смысле Мандельброта.

Обобщенные фрактальные струны

Рекомендации

  1. ^ а б c М. Л. Лапидус, М. ван Франкенхейсен, Фрактальная геометрия, комплексные измерения и дзета-функции: геометрия и спектры фрактальных струн, Монографии по математике, Спрингер, Нью-Йорк, второе исправленное и дополненное издание, 2012 г. Дои:10.1007/978-1-4614-2176-4