Гармоническая форма Маасса - Harmonic Maass form - Wikipedia

В математика, а слабая форма Маасса гладкая функция в верхней полуплоскости, трансформируясь как модульная форма под действием модульная группа, будучи собственная функция соответствующего гиперболического Оператор Лапласа, и имеющий не более чем линейный экспоненциальный рост на вершинах. Если собственное значение под лапласианом равна нулю, то называется гармоническая слабая форма Маасса, или кратко гармоническая форма Маасса.

Слабая форма Маасса с умеренным ростом на куспидах - это классический Форма волны Маасса.

Разложения Фурье гармонических форм Маасса часто кодируют интересные комбинаторные, арифметические или геометрические производящие функции. Регуляризованные тета-лифты гармонических форм Маасса могут быть использованы для построения Аракелов Функции Грина для специальных дивизоров на ортогональных Сорта Шимура.

Определение

А комплексный гладкая функция на верхняя полуплоскость ЧАС = {zC:  Я (z) > 0}  называется слабая форма Маасса интегрального веса k (для группы SL (2, Z)), если он удовлетворяет следующим трем условиям:

(1) Для каждой матрицы функция удовлетворяет закону модульного преобразования
(2) является собственной функцией веса k гиперболический лапласиан
куда
(3) имеет не более чем линейный экспоненциальный рост в точке возврата, то есть существует постоянная C > 0 такой, что ж (z) = О(еСай) в качестве

Если является слабой формой Маасса с собственным значением 0 при , то есть если , тогда называется гармоническая слабая форма Маасса, или кратко гармоническая форма Маасса.

Основные свойства

Каждая гармоническая форма Маасса веса имеет разложение Фурье вида

куда q = е2πiz, и целые числа в зависимости от Более того,

обозначает неполная гамма-функция (что следует интерпретировать соответствующим образом, когда п=0 ). Первое слагаемое называется голоморфная часть, а второе слагаемое называется неголоморфная часть из

Существует комплексный антилинейный дифференциальный оператор определяется

С , образ гармонической формы Маасса слабо голоморфен. Следовательно, определяет карту из векторного пространства гармонических форм веса Маасса в космос слабо голоморфных модулярных форм веса Это было доказано в (Брюинье и Функе 2004 ) (для произвольных весов, систем множителей и подгрупп конгруэнций), что это отображение сюръективно. Следовательно, существует точная последовательность

дает ссылку на алгебраическую теорию модулярных форм. Важное подпространство это пространство гармонических форм Маасса, которые отображаются в куспид при .

Если гармонические формы Маасса интерпретировать как гармонические участки линейный пакет модульных форм веса оснащен Петерссон над модулярной кривой, то этот дифференциальный оператор можно рассматривать как композицию Звездный оператор Ходжа и антиголоморфный дифференциал. Понятие гармонических форм Маасса естественным образом обобщается на произвольные конгруэнтные подгруппы и (скалярные и векторные) системы множителей.

Примеры

  • Всякая слабо голоморфная модулярная форма является гармонической формой Маасса.
  • Неголоморфный Серия Эйзенштейна
веса 2 является гармонической формой Маасса веса 2.
  • Загиера Серия Эйзенштейна E3/2 веса 3/2 (Загир 1975 ) - гармоническая форма Маасса веса 3/2 (для группы Γ0(4)). Его изображение под ненулевое кратное тета-функции Якоби

История

Приведенное выше абстрактное определение гармонических форм Маасса вместе с систематическим исследованием их основных свойств было впервые дано Брюинье и Функе (Брюинье и Функе 2004 ). Однако многие примеры, такие как ряды Эйзенштейна и ряды Пуанкаре, уже были известны ранее. Независимо, Zwegers разработал теорию фиктивных модульных форм, которая также связана с гармоническими формами Маасса (Цвегерс 2002 ).

Алгебраическая теория интегральных весовых гармонических форм Маасса в стиле Кац был разработан Candelori (Канделори 2014 ).

Процитированные работы

  • Альфес, Клаудиа; Гриффин, Майкл; Оно, Кен; Ролен, Ларри (2015), "Имитация модульных форм Вейерштрасса и эллиптических кривых", Исследования в области теории чисел, 1:24
  • Брюинье, Ян Хендрик; Функе, Йенс (2004), «О двух геометрических тета-лифтах», Математический журнал герцога, 125 (1): 45–90, arXiv:математика / 0212286, Дои:10.1215 / S0012-7094-04-12513-8, ISSN  0012-7094, МИСТЕР  2097357
  • Канделори, Лука (2014), «Гармонические слабые формы Маасса: геометрический подход», Mathematische Annalen, 360 (1–2): 489–517, Дои:10.1007 / s00208-014-1043-5
  • Герцог, Уильям; Имамоглу, Озлем; Тот, Арпад (2011), "Циклические интегралы j-функции и фиктивные модульные формы", Анналы математики, Вторая серия, 173 (2): 947–981, Дои:10.4007 / летопись.2011.173.2.8
  • Фэй, Джон (1977), "Коэффициенты Фурье резольвенты для фуксовой группы", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 294: 143–203
  • Хейхал, Деннис (1983), Формула следа Сельберга для PSL (2, R), Конспект лекций по математике, 1001, Springer-Verlag.
  • Кудла, Стив; Рапопорт, Майкл; Ян, Тонхай (1999), "О производной ряда Эйзенштейна веса один", Уведомления о международных математических исследованиях, 1999 (7): 347–385, Дои:10.1155 / S1073792899000185
  • Оно, Кен (2009), Разоблачение видения мастера: гармонические формы Маасса и теория чисел, Текущие достижения в математике, 2008, Int. Press, Somerville, стр. 347–454.
  • Загье, Дон (1975), "Nombres de classes et formes modulaires de poids 3/2", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A (На французском), 281: 883–886
  • Цвегерс, С. П. (2002), Мок-тета-функции (Докторская диссертация), Утрехтский университет, ISBN  978-90-393-3155-2