Метод голоморфного вложения нагрузочного потока - Holomorphic embedding load flow method

В Метод голоморфного вложения Load-flow (ШЛЕМ) ^{[примечание 1]} метод решения мощность потока уравнения электроэнергетических систем. Его основные особенности заключаются в том, что он непосредственный (то есть неитеративным), и что он математически гарантирует последовательный выбор правильной оперативной ветви многозначной задачи, а также сигнализирует об условиях коллапса напряжения, когда нет решения. Эти свойства важны не только для надежности существующих автономных приложений и приложений реального времени, но также потому, что они позволяют использовать новые типы аналитических инструментов, которые невозможно построить с помощью существующих методов итеративного потока нагрузки (из-за проблем с конвергенцией). Примером этого может быть инструменты поддержки принятия решений предоставление утвержденных планов действий в режиме реального времени.

Алгоритм потока нагрузки HELM был изобретен Антонио Триасом и получил два патента США.^[1][2]Подробное описание было представлено на Общем собрании IEEE PES в 2012 году и впоследствии опубликовано.^[3]Метод основан на передовых концепциях и результатах комплексный анализ, такие как голоморфность, теория алгебраические кривые, и аналитическое продолжение. Однако численная реализация довольно проста, поскольку в ней используется стандартная линейная алгебра и Приближение Паде. Кроме того, поскольку ограничивающей частью вычислений является факторизация матрицы проводимости, а это делается только один раз, ее производительность конкурентоспособна с установленными быстро развязанными потоками нагрузки. Этот метод в настоящее время внедрен в промышленные блоки реального времени и автономные. EMS Приложения.

Задний план

В грузопоток Расчет является одним из самых фундаментальных компонентов при анализе энергосистем и краеугольным камнем почти всех других инструментов, используемых в моделирование энергосистемы и управление. Уравнения нагрузки-расхода можно записать в следующем общем виде:

${ displaystyle sum _ {k} Y_ {ik} V_ {k} + Y_ {i} ^ { text {sh}} V_ {i} = { frac {S_ {i} ^ {*}} {V_ {i} ^ {*}}}}$

(1)

где заданные (комплексные) параметры - матрица проводимостиY_ik, допуски шинного шунтаY_я^ш, и шины питания S_я представляющие нагрузки и генераторы постоянной мощности.

Для решения этой нелинейной системы алгебраических уравнений были разработаны традиционные алгоритмы потока нагрузки, основанные на трех итерационных методах: Гаусс-Зайдель метод^[4], который имеет плохие свойства сходимости, но очень мало требует памяти и прост в реализации; полный Ньютон-Рафсон метод^[5], который обладает свойствами быстрой (квадратичной) итерационной сходимости, но требует больших вычислительных затрат; и метод Fast DecoupledLoad-Flow (FDLF)^[6], который основан на методе Ньютона-Рафсона, но значительно снижает его вычислительные затраты за счет приближения развязки, действующего в большинстве сетей передачи. Существует много других дополнительных улучшений; однако лежащая в их основе техника по-прежнему представляет собой итеративный решатель либо типа Гаусса-Зейделя, либо типа Ньютона. У всех итерационных схем этого типа есть две фундаментальные проблемы. С одной стороны, нет гарантии, что итерация всегда будет сходиться к решению; с другой стороны, поскольку в системе есть несколько решений,^{[заметка 2]} невозможно контролировать, какое решение будет выбрано. По мере приближения энергосистемы к точке коллапса напряжения ложные решения становятся все ближе к правильному, и итерационная схема может быть легко привлечена к одному из них из-за явления фракталов Ньютона: когда метод Ньютона применяется к сложным функциям, бассейны притяжения для различных решений демонстрируют фрактальное поведение.^{[заметка 3]} В результате, независимо от того, насколько близка выбранная начальная точка итераций (начальная точка) к правильному решению, всегда существует ненулевой шанс отклониться от другого решения. Эти фундаментальные проблемы итеративных потоков загрузки подробно задокументированы.^[7] Простая иллюстрация модели с двумя шинами представлена ​​в^[8] Хотя существуют гомотопный продолжение методы, которые в некоторой степени облегчают проблему,^[9] фрактальная природа бассейнов притяжения не позволяет использовать 100% надежный метод для всех электрических сценариев.

Ключевым отличительным преимуществом HELM является то, что он полностью детерминирован и недвусмысленен: он гарантирует, что решение всегда соответствует правильному оперативному решению, если оно существует; и он сигнализирует об отсутствии решения, когда условия таковы, что решения нет (коллапс напряжения). Кроме того, метод конкурирует с методом FDNR с точки зрения вычислительной стоимости. Это дает основательное математическое рассмотрение проблемы потока нагрузки, которое дает новые идеи, ранее недоступные с помощью итерационных численных методов.

Методология и приложения

HELM основан на строгой математической теории, и в практическом плане ее можно резюмировать следующим образом:

1. Задайте конкретное (голоморфное) вложение уравнений в терминах комплексного параметра s, что для s=0 система имеет очевидное правильное решение, а для s=1 один восстанавливает исходную проблему.
2. Учитывая это голоморфное вложение, теперь можно однозначно вычислить степенные ряды для напряжений как аналитических функций от s. Правильное решение для распределения нагрузки при s=1 будет получено аналитическим продолжением известного правильного решения при s=0.
3. Выполните аналитическое продолжение, используя алгебраические аппроксимации, которые в этом случае гарантированно либо сходятся к решению, если оно существует, либо не сходятся, если решение не существует (коллапс напряжения).

HELM обеспечивает решение давней проблемы всех итерационных методов распределения нагрузки, а именно ненадежности итераций в поиске правильного решения (или любого решения вообще).

Это делает HELM особенно подходящим для приложений реального времени и обязательным для любого программного обеспечения EMS, основанного на исследовательских алгоритмах, таких как анализ непредвиденных обстоятельств, а также в условиях тревоги и чрезвычайных ситуаций, устранение нарушений эксплуатационных пределов и восстановление, обеспечивающее руководство посредством планов действий.

Голоморфное вложение

В целях обсуждения мы опустим обработку элементов управления, но этот метод может поддерживать все типы элементов управления. Для уравнений связи, налагаемых этими управлениями, также должно быть определено соответствующее голоморфное вложение.

В методе используется техника встраивания с помощью сложного параметра. sПервый ключевой ингредиент метода состоит в том, чтобы требовать, чтобы вложение было голоморфным, то есть чтобы система уравнений для напряжений V превращается в систему уравнений для функций В (с) таким образом, что новая система определяет В (с) как голоморфные функции (то есть комплексные аналитические) новой комплексной переменной s. Цель состоит в том, чтобы иметь возможность использовать процесс аналитического продолжения, который позволит вычислить В (с) в s=1. Рассматривая уравнения (1) необходимым условием голоморфности вложения является выполнение V^* заменяется при вложении на V^*(с^*)не V^*(s). Это потому, что само комплексное сопряжение не является голоморфной функцией. С другой стороны, легко увидеть, что замена V^*(с^*) позволяет уравнениям определять голоморфную функцию В (с). Однако для данного произвольного вложения остается доказать, что В (с) действительно голоморфен. Принимая во внимание все эти соображения, предлагается вложение такого типа:

${ displaystyle sum _ {k} Y_ {ik} V_ {k} (s) + Y_ {i} ^ { text {sh}} V_ {i} (s) = s { frac {S_ {i} ^ {*}} {V_ {i} ^ {*} (s ^ {*})}}}$

(1)

При таком выборе при s=0 члены в правой части становятся равными нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю), это соответствует случаю, когда все впрыски равны нулю, и этот случай имеет хорошо известное и простое рабочее решение: все напряжения равны, а все интенсивности потока равны нулю. . Следовательно, этот выбор для вложения обеспечивает при s = 0 хорошо известное рабочее решение.

Теперь с использованием классических методов исключения переменных в полиномиальных системах^[10] (результаты теории Результат и Основа Грёбнера можно доказать, что уравнения (1) действительно определяют В (с) как голоморфные функции. Что еще более важно, они определяют В (с) так как алгебраические кривые. Именно этот конкретный факт, который становится истинным, поскольку вложение голоморфно, гарантирует единственность результата. Решение на s=0 однозначно определяет решение всюду (кроме конечного числа разрезов ветвей), тем самым избавляясь от многозначности задачи потока нагрузки.

Методика получения коэффициентов разложения степенного ряда (на s=0) напряжений V довольно просто, если понять, что уравнения (2) можно использовать для получения заказа за заказом. Рассмотрим расширение степенного ряда для ${ displaystyle textstyle V (s) = sum _ {n = 0} ^ { infty} a [n] s ^ {n}}$ и ${ displaystyle textstyle 1 / V (s) = sum _ {n = 0} ^ { infty} b [n] s ^ {n}}$. Подстановкой в ​​уравнения (1) и определение терминов в каждом заказе в s^п, получаем:

${ displaystyle sum _ {k} Y_ {ik} a_ {k} [n] + Y_ {i} ^ { text {sh}} a_ {i} [n] = S_ {i} ^ {*} b_ {i} ^ {*} [n-1] qquad (n = 0, ldots, infty)}$

(2)

Тогда несложно решить последовательность линейных систем (2) последовательно заказ за заказом, начиная с п=0. Отметим, что коэффициенты разложений для V и 1 / V связаны простыми формулами свертки, полученными из следующего тождества:

${ Displaystyle { begin {align} 1 & = V (s) V ^ {- 1} (s) & = left ( sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} s ^ {n} right) left ( sum _ {n = 0} ^ { infty} b_ {n} s ^ {n} right) & = a_ {0} b_ {0} + left ( sum _ {k = 0} ^ {1} a_ {1-k} b_ {k} right) s + left ( sum _ {k = 0} ^ {2} a_ {2-k} b_ {k } right) s ^ {2} + cdots + left ( sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {nk} b_ {k} right) s ^ {n} + ldots end { выровнен}}}$

(3)

так что правая часть в (2) всегда можно рассчитать из решения системы в предыдущем порядке. Также обратите внимание на то, как работает процедура, решая только линейные системы, в котором матрица остается постоянной.

Более подробное обсуждение этой процедуры предлагается в работе.^[3]

Аналитическое продолжение

Однажды степенной ряд на s=0 рассчитываются в желаемом порядке, задача их расчета при s=1 становится одним из аналитическое продолжение. Следует особо отметить, что это не имеет ничего общего с техникой гомотопическое продолжение. Гомотопия мощна, поскольку она использует только концепцию непрерывности и, таким образом, применима к общим гладким нелинейным системам, но, с другой стороны, она не всегда обеспечивает надежный метод аппроксимации функций (поскольку она основана на итерационных схемах, таких как Ньютон-Рафсон).

Это может быть доказано^[11] что алгебраические кривые полны глобальные аналитические функции, то есть знание разложения в степенной ряд в одной точке (так называемый росток функции) однозначно определяет функцию всюду на комплексной плоскости, кроме конечного числа срезы веток. Теорема Шталя об экстремальной области^[12] далее утверждает, что существует максимальная область для аналитического продолжения функции, которая соответствует выбору разрезов ветвей с минимальными логарифмическая емкость мера. В случае алгебраических кривых количество разрезов конечно, поэтому было бы возможно найти максимальные продолжения, найдя комбинацию разрезов с минимальной пропускной способностью. Для дальнейшего улучшения, теорема Шталя о сходимости аппроксимантов Паде^[13] утверждает, что диагональные и супрадиагональные Паде (или, что то же самое, аппроксимации цепной дроби степенного ряда) сходятся к максимальному аналитическому продолжению. Нули и полюсы аппроксимант заметно накапливаются на множестве срезы веток имеющий минимальную емкость.

Эти свойства наделяют метод потока нагрузки способностью однозначно определять условие коллапса напряжения: алгебраические приближения гарантированно сходятся к решению, если оно существует, или не сходятся, если решение не существует.

Смотрите также

• Исследование потока мощности
• Моделирование энергосистемы
• Проблема обязательств агрегата в производстве электроэнергии

Заметки

использованная литература