Метод усреднения - Method of averaging - Wikipedia

В математика, более конкретно в динамические системы, то метод усреднения (также называемая теорией усреднения) использует системы, содержащие разделение шкал времени: быстрое колебание против а медленный дрейф. Это предполагает, что мы выполняем усреднение за заданный промежуток времени, чтобы сгладить быстрые колебания и наблюдать качественное поведение по результирующей динамике. Приближенное решение сохраняется при конечном времени, обратно пропорциональном параметру, обозначающему медленный масштаб времени. Оказывается, это обычная проблема, когда существует компромисс между тем, насколько хорошо приближенное решение уравновешено тем, сколько времени оно остается близким к исходному решению.

Точнее, система имеет следующий вид

{ displaystyle quad { dot {x}} = varepsilon f (x, t, varepsilon), quad 0 leq varepsilon ll 1}

переменной фазового пространства

{ displaystyle x.}

В быстрое колебание дан кем-то

{ displaystyle f}

против а медленный дрейф из

{ displaystyle { dot {x}}}

. Метод усреднения дает автономную динамическую систему

{ displaystyle quad { dot {y}} = varepsilon { frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} f (y, s, 0) ~ ds =: varepsilon { bar {f}} (y)}

который аппроксимирует кривые решения

{ displaystyle { dot {x}}}

внутри связной и компактной области фазового пространства и со временем

{ displaystyle 1 / varepsilon}

.

При применимости этого метода усреднения асимптотическое поведение исходной системы фиксируется динамическим уравнением для ${ displaystyle y}$ . Таким образом, качественные методы для автономных динамических систем могут быть использованы для анализа равновесие и более сложные конструкции, такие как медленный коллектор и инвариантные многообразия, а также их стабильность в фазовом пространстве усредненной системы.

Кроме того, в физическом приложении было бы разумным или естественным заменить математическую модель, которая дается в форме дифференциального уравнения для ${ displaystyle { dot {x}}}$ , с соответствующей усредненной системой ${ displaystyle { dot {y}}}$ , чтобы использовать усредненную систему для составления прогноза, а затем проверить его по результатам физического эксперимента.^[1]

Метод усреднения имеет долгую историю, глубоко уходящую корнями в возмущение проблемы, возникшие в небесная механика (см., например, в ^[2]).

Первый пример

Рисунок 1: Решение возмущенного уравнения логистического роста

{ displaystyle { dot {x}} = varepsilon (x (1-x) + sin {t}) ~ x in mathbb {R}, ~ varepsilon = 0,05}

(синяя сплошная линия) и усредненное уравнение

{ displaystyle { dot {y}} = varepsilon y (1-y), ~ y in mathbb {R}}

(оранжевая сплошная линия).

Считайте возмущенным логистический рост

{ displaystyle quad { dot {x}} = varepsilon (x (1-x) + sin {t}) quad quad x in mathbb {R}, quad 0 leq varepsilon ll 1,}

и усредненное уравнение

{ displaystyle quad { dot {y}} = varepsilon y (1-y) qquad y in mathbb {R}.}

Цель метода усреднения - рассказать нам о качественном поведении векторного поля, когда мы усредняем его за период времени. Это гарантирует, что решение

{ Displaystyle у (т)}

приблизительно

{ Displaystyle х (т)}

на время

{ displaystyle t = { mathcal {O}} (1 / varepsilon).}

В исключительных случаях: в этом примере приближение даже лучше, оно действительно для всех времен. Мы представляем это в разделе ниже.

Определения

Предположим, что векторное поле ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} times mathbb {R} times mathbb {R} to mathbb {R} ^ {n}}$ быть из класс дифференцируемости ${ displaystyle C ^ {r}}$ с ${ displaystyle r geq 2}$ (или даже мы будем говорить только гладкие), которые мы обозначим ${ displaystyle f in C ^ {r} ( mathbb {R} ^ {n} times mathbb {R} times mathbb {R} ^ {+}; mathbb {R} ^ {n}) }$ . Мы расширяем это зависящее от времени векторное поле по Тейлору (в порядке ${ displaystyle varepsilon}$ ) с остатком. Введем следующие обозначения:^[2]

{ Displaystyle четырехъядерный е (х, т, varepsilon) = f ^ {0} (x, t) + varepsilon f ^ {1} (x, t) + dots + varepsilon ^ {k} f ^ {k} (x, t) + varepsilon ^ {k + 1} f ^ {[k + 1]} (x, t, varepsilon),}

куда ${ displaystyle f ^ {j} = { frac {f ^ {(j)} (x, t, 0)} {j!}}}$ это ${ displaystyle j}$ -я производная с ${ Displaystyle 0 Leq J Leq K}$ . Поскольку мы занимаемся проблемами усреднения, в общем ${ displaystyle f ^ {0} (х, т)}$ равен нулю, поэтому оказывается, что нас будут интересовать векторные поля, заданные

{ Displaystyle четырехъядерный е (х, т, varepsilon) = varepsilon f ^ {[1]} (x, t, varepsilon) = varepsilon f ^ {1} (x, t) + varepsilon ^ { 2} f ^ {[2]} (x, t, varepsilon).}

Кроме того, мы определяем следующую задачу начального значения как находящуюся в стандартная форма:^[2]

{ displaystyle quad { dot {x}} = varepsilon f ^ {1} (x, t) + varepsilon ^ {2} f ^ {[2]} (x, t, varepsilon), qquad x (0, varepsilon) =: x_ {0} in D substeq mathbb {R} ^ {n}, quad 0 leq varepsilon ll 1.}

Теорема: усреднение в периодическом случае

Считайте для каждого ${ Displaystyle D подмножество mathbb {R} ^ {n}}$ связаны и ограничены, и каждый ${ displaystyle varepsilon _ {0}> 0}$ существуют ${ displaystyle L> 0}$ и ${ displaystyle varepsilon leq varepsilon _ {0}}$ такая, что исходная система (неавтономная динамическая система) задана

{ displaystyle quad { dot {x}} = varepsilon f ^ {1} (x, t) + varepsilon ^ {2} f ^ {[2]} (x, t, varepsilon), qquad x_ {0} in D substeq mathbb {R} ^ {n}, quad 0 leq varepsilon ll 1,}

есть решение

{ Displaystyle х (т, varepsilon)}

, куда

{ displaystyle f ^ {1} in C ^ {r} (D times mathbb {R}; mathbb {R} ^ {n})}

является периодический с периодом

{ displaystyle T}

и

{ displaystyle f ^ {[2]} in C ^ {r} (D times mathbb {R} times mathbb {R} ^ {+}; mathbb {R} ^ {n})}

как с

{ displaystyle r geq 2}

ограничен на ограниченных множествах. Тогда существует постоянная

{ displaystyle c> 0}

так что решение

{ Displaystyle у (т, varepsilon)}

из усредненный система (автономная динамическая система)

{ displaystyle quad { dot {y}} = varepsilon { frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} f ^ {1} (y, s) ~ ds =: varepsilon { bar {f}} ^ {1} (y), quad y (0, varepsilon) = x_ {0}}

является

{ Displaystyle четырехъядерный | Икс (T, varepsilon) -y (t, varepsilon) |

за

{ displaystyle 0 leq varepsilon leq varepsilon _ {0}}

и

{ Displaystyle 0 Leq T Leq L / varepsilon}

.

Замечания

Есть два приближения в том, что называется первое приближение оценка: приведение к среднему векторного поля и пренебрежение ${ Displaystyle { mathcal {O}} ( varepsilon ^ {2})}$ термины.
Равномерность по начальному условию ${ displaystyle x_ {0}}$ : если мы меняемся ${ displaystyle x_ {0}}$ это влияет на оценку ${ displaystyle L}$ и ${ displaystyle c}$ . Доказательство и обсуждение этого можно найти в книге Дж. Мердока.^[3]
Снижение регулярности: существует более общая форма этой теоремы, которая требует только ${ displaystyle f ^ {1}}$ быть Липшиц и ${ displaystyle f ^ {[2]}}$ непрерывный. Это более новое доказательство, которое можно увидеть у Сандерса. и другие..^[2] Приведенная здесь формулировка теоремы основана на схеме доказательства, предложенной Крылов-Боголюбов который основан на введении почти тождественного преобразования. Преимущество этого метода - расширение до более общих параметров, таких как бесконечномерные системы - уравнения в частных производных или дифференциальные уравнения с запаздыванием.
Дж. Хейл представляет обобщение почти периодических векторных полей.^[4]

Стратегия доказательства

Крылов-Боголюбов понял, что медленная динамика системы определяет ведущий порядок асимптотического решения.

Чтобы доказать это, они предложили преобразование, близкое к тождественному, что оказалось сменой координат с собственной шкалой времени, переводящей исходную систему в усредненную.

Набросок доказательства

Определение преобразования, близкого к тождественному: гладкое отображение ${ displaystyle y mapsto U (y, t, varepsilon) = y + varepsilon u ^ {[1]} (y, t, varepsilon)}$ куда ${ displaystyle u ^ {[1]}}$ считается достаточно регулярным и ${ displaystyle T}$ периодический. Предлагаемое изменение координат дается выражением ${ Displaystyle х = U (у, т, varepsilon)}$ .
Выберите подходящий ${ Displaystyle и ^ {[1]}}$ решение гомологическое уравнение теории усреднения: ${ displaystyle { frac { partial u ^ {[1]}} { partial t}} = f ^ {1} (y, t) - { bar {f}} ^ {1} (y)}$ .
Изменение координат переводит исходную систему в ${ displaystyle { dot {y}} = varepsilon { bar {f}} ^ {1} (y) + varepsilon ^ {2} f _ {*} ^ {[2]} (y, t, варепсилон).}$
Оценка ошибки из-за усечения и сравнения с исходной переменной.

Неавтономный класс систем: еще примеры

На протяжении истории техники усреднения существует класс систем, которые широко изучены, и они дают нам содержательные примеры, которые мы обсудим ниже. Класс системы определяется:

{ displaystyle quad { ddot {z}} + z = varepsilon g (z, { dot {z}}, t), qquad z in mathbb {R}, quad z (0) = z_ {0} ~ mathrm {и} ~ { dot {z}} (0) = v_ {0},}

куда ${ displaystyle g}$ гладко. Эта система похожа на линейную систему с малым нелинейным возмущением, задаваемым формулой ${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 varepsilon ~ g (z, { dot {z}}, t) end {bmatrix}}}$ :

{ displaystyle quad { begin {align} { dot {z_ {1}}} & = z_ {2}, & z_ {1} (0) & = z_ {0} { dot {z_ {2} }}} & = - z_ {1} + varepsilon g (z_ {1}, z_ {2}, t), & z_ {2} (0) & = v_ {0}, end {выровнено}}}

отличная от стандартной формы. Следовательно, есть необходимость выполнить преобразование, чтобы оно было явным образом преобразовано в стандартную форму.^[2] Мы можем изменить координаты, используя вариация констант метод. Смотрим на невозмущенную систему, т.е.

{ displaystyle varepsilon = 0}

, данный

{ displaystyle { begin {bmatrix} { dot {z_ {1}}} { dot {z_ {2}}} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 конец {bmatrix}} { begin {bmatrix} z_ {1} z_ {2} end {bmatrix}} = A { begin {bmatrix} z_ {1} z_ {2} end {bmatrix} }}

который имеет фундаментальное решение ${ displaystyle Phi (t) = e ^ {At}}$ соответствующий вращению. Тогда зависящее от времени изменение координат равно ${ Displaystyle г (т) = фи (т) х}$ куда ${ displaystyle x}$ - координаты, соответствующие стандартной форме.

Если мы возьмем производную по времени в обе стороны и обратим фундаментальную матрицу, получим

${ displaystyle quad { dot {x}} = varepsilon e ^ {- At} { begin {bmatrix} 0 ~ { tilde {g}} (x, { dot {x}}, t ) end {bmatrix}} ~ { text {with}} ~ { tilde {g}} (x, { dot {x}}, t) = g ( cos (t) x (t) + sin (t) { dot {x}} (t), - sin (t) x (t) + cos (t) { dot {x}} (t), t).}$

Замечания

То же самое можно сделать с линейными частями, зависящими от времени. Хотя фундаментальное решение может быть нетривиальным явным образом записать, процедура аналогична. См Сандерс и другие. ^[2] для получения дополнительной информации.
Если собственные значения ${ displaystyle A}$ не все чисто мнимые, это называется условие гиперболичности. В этом случае уравнение возмущения может вызвать серьезные проблемы, даже если ${ displaystyle g}$ ограничена, так как решение растет экспоненциально быстро.^[2] Однако качественно мы можем знать асимптотическое решение, например Хартман-Гробман результаты и многое другое.^[1]
Иногда, чтобы получить стандартные формы, с которыми легче работать, мы можем выбрать вращающийся набор координат системы отсчета - полярные координаты - задаваемые ${ Displaystyle Z_ {1} = r sin (t- phi) ~ mathrm {и} ~ z_ {2} = r cos (t- phi)}$ определяющее начальное условие ${ Displaystyle (г (0), фи (0))}$ также и определяет систему:

{ displaystyle quad { begin {bmatrix} { dot {r}} { dot { phi}} end {bmatrix}} = varepsilon { begin {bmatrix} cos (t- phi ) g (r sin (t- phi), r cos (t- phi), t) { frac {1} {r}} sin (t- phi) g (r sin (t- phi), r cos (t- phi), t) end {bmatrix}}.}

Если

{ displaystyle g in C ^ {1}}

мы усредняем его, пока исключается окрестность начала координат (поскольку полярные координаты не работают), дает:

{ displaystyle quad { begin {array} {lcr} { bar {f}} _ {1} ^ {1} (r) = { frac {1} {2 pi}} int _ {0 } ^ {2 pi} cos (s- phi) g (r sin (s- phi), r cos (s- phi), s) ds { bar {f}} _ {2} ^ {1} (r) = { frac {1} {2 pi r}} int _ {0} ^ {2 pi} sin (s- phi) g (r sin ( s- phi), r cos (s- phi), s) ds, end {array}}}

где усредненная система

{ displaystyle quad { begin {array} {lcr} { dot { bar {r}}} = varepsilon { bar {f}} _ {1} ^ {1} ({ bar {r} }) { dot { bar { phi}}} = varepsilon { bar {f}} _ {2} ^ {1} ({ bar {r}}) end {array}}. }

Пример: вводящие в заблуждение результаты усреднения

Рисунок 2: Простой гармонический осциллятор с малым периодическим демпфирующим членом

{ displaystyle { ddot {z}} + 4 varepsilon cos ^ {2} {(t)} { dot {z}} + z = 0, ~ z (0) = 0, ~ { dot { z}} (0) = 1; ~ varepsilon = 0,05}

.Численное моделирование исходного уравнения (синяя сплошная линия) сравнивается с системой усреднения (оранжевая пунктирная линия) и грубой усредненной системой (зеленая пунктирная линия). Левый график отображает решение, эволюционировавшее во времени, а правый график представляет собой фазовое пространство. Отметим, что грубое усреднение не соответствует ожидаемому решению.

Метод содержит некоторые предположения и ограничения. Эти ограничения играют важную роль, когда мы усредняем исходное уравнение, не имеющее стандартной формы, и можем обсудить контрпример к нему. Следующий пример, чтобы предотвратить это поспешное усреднение:^[2]

{ displaystyle quad { ddot {z}} + 4 varepsilon cos ^ {2} {(t)} { dot {z}} + z = 0, quad quad z (0) = 0, quad { dot {z}} (0) = 1,}

куда мы положили

{ Displaystyle г (г, { точка {z}}, т) = - 4 соз ^ {2} (т) { точка {z}}}

следуя предыдущим обозначениям.

Эта система соответствует затухающий гармонический осциллятор где демпфирующий член колеблется между ${ displaystyle 0}$ и ${ displaystyle 4 varepsilon}$ . Усредняя член трения за один цикл ${ displaystyle 2 pi}$ дает уравнение:

{ displaystyle quad { ddot { bar {z}}} + 2 varepsilon { dot { bar {z}}} + { bar {z}} = 0, quad quad { bar { z}} (0) = 0, quad { dot { bar {z}}} (0) = 1.}

Решение

{ displaystyle { bar {z}} (t) = { frac {1} {(1- varepsilon ^ {2}) ^ { frac {1} {2}}}} e ^ {- varepsilon t} sin {((1- varepsilon ^ {2}) ^ { frac {1} {2}} t)}.}.

скорость сходимости к началу координат равна

{ displaystyle varepsilon}

. Усредненная система, полученная из стандартной формы, дает:

{ displaystyle quad { begin {array} {lcr} { dot { bar {r}}} = - { frac {1} {2}} varepsilon { bar {r}} (2+ cos (2 { bar { phi}})), ~ { bar {r}} (0) = 1 { dot { bar { phi}}} = { frac {1} {2 }} varepsilon sin (2 { bar { phi}}), ~ { bar { phi}} (0) = 0, end {array}}}

что в прямоугольной координате явно показывает, что действительно скорость сходимости к началу координат равна

{ displaystyle { frac {3} {2}} varepsilon}

в отличие от предыдущей системы усреднения сырой нефти:

{ displaystyle quad y (t) = e ^ {- { frac {3} {2}} varepsilon t} sin {t}}

Пример: уравнение Ван дер Поля

Рисунок 3: Фазовое пространство генератора Ван дер Поля с

{ displaystyle varepsilon = 0,1}

. Устойчивый предельный цикл (оранжевая сплошная линия) в системе правильно зафиксирован качественным анализом усредненной системы. Для двух различных начальных условий (черные точки) мы наблюдаем траектории (пунктирная синяя линия), сходящиеся к периодической орбите.

Ван дер Поль занимался получением приближенного решения для уравнений типа

{ displaystyle quad { ddot {z}} + varepsilon (1-z ^ {2}) { dot {z}} + z = 0,}

куда

{ Displaystyle г (г, { точка {z}}, т) = (1-z ^ {2}) { точка {z}}}

следуя предыдущим обозначениям. Эта система называется Генератор Ван дер Поля. Если мы применим периодическое усреднение к этому нелинейному осциллятору, это даст нам качественное знание фазового пространства без явного решения системы.

Усредненная система

{ displaystyle quad { begin {array} {lcr} { dot { bar {r}}} = { frac {1} {2}} varepsilon { bar {r}} (1 - { frac {1} {4}} { bar {r}} ^ {2}) { dot { bar { phi}}} = 0, end {array}}}

и мы можем проанализировать неподвижные точки и их устойчивость. В начале координат имеется неустойчивая неподвижная точка и устойчивый предельный цикл, представленный

{ displaystyle { bar {r}} = 2}

.

Существование такого устойчивого предельного цикла можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема (существование периодической орбиты)^[5]: Если ${ displaystyle p_ {0}}$ является гиперболической неподвижной точкой

{ displaystyle quad { dot {y}} = varepsilon { bar {f}} ^ {1} (y)}

Тогда существует

{ displaystyle varepsilon _ {0}> 0}

такое, что для всех

{ Displaystyle 0 < varepsilon < varepsilon _ {0}}

,

{ displaystyle quad { dot {x}} = varepsilon f ^ {1} (x, t) + varepsilon ^ {2} f ^ {[2]} (x, t, varepsilon)}

имеет единственную гиперболическую периодическую орбиту

{ displaystyle gamma _ { varepsilon} (t) = p_ {0} + { mathcal {O}} ( varepsilon)}

того же типа устойчивости, что и

{ displaystyle p_ {0}}

.

Доказательство можно найти у Гукенхаймера и Холмса,^[5] Сандерс и другие. ^[2] и для углового корпуса в Chicone.^[1]

Пример: ограничение временного интервала

Рисунок 4: На графике изображены две фундаментальные величины, на которых основан метод среднего: ограниченная и связная область

{ displaystyle D}

фазового пространства и как долго (определяется константой

{ displaystyle c}

) усредненное решение справедливо. В этом случае

{ textstyle { ddot {z}} + z = 8 varepsilon cos {(t)} { dot {z}} ^ {2}, ~ z (0) = 0, ~ { dot {z} } (0) = 1; ~ 8 varepsilon = { frac {2} {15}}}

. Обратите внимание, что оба решения взорвутся за конечное время. Следовательно,

{ displaystyle D}

был выбран соответственно, чтобы сохранить ограниченность решения, а временной интервал применимости приближения составляет

{ Displaystyle 0 Leq varepsilon т

.

Теорема о среднем предполагает существование связной и ограниченной области ${ Displaystyle D подмножество mathbb {R} ^ {n}}$ что влияет на временной интервал ${ displaystyle L}$ достоверности результата. Следующий пример указывает на это. Рассмотрим

{ Displaystyle quad { ddot {z}} + z = 8 varepsilon cos {(t)} { dot {z}} ^ {2}, ~ z (0) = 0, ~ { dot { z}} (0) = 1,}

куда

{ displaystyle g (z, { dot {z}}, t) = 8 { dot {z}} ^ {2} cos (t)}

. Усредненная система состоит из

{ displaystyle quad { begin {array} {lcr} { dot { bar {r}}} = 3 varepsilon { bar {r}} ^ {2} cos ({ bar { phi} }), ~ { bar {r}} (0) = 1 { dot { bar { phi}}} = - varepsilon { bar {r}} sin ({ bar { phi }}), ~ { bar { phi}} (0) = 0, end {array}}}

что при этом начальном условии указывает, что исходное решение ведет себя как

{ displaystyle quad z (t) = { frac { sin (t)} {1-3 varepsilon t}} + { mathcal {O}} ( varepsilon),}

где он выполняется в ограниченной области над

{ Displaystyle 0 Leq varepsilon т Leq L <{ гидроразрыва {1} {3}}}

.

Затухающий маятник

Рассмотрим затухающий маятник чья точка подвеса колеблется вертикально из-за малой амплитуды высокочастотного сигнала (обычно это известно как дизеринг ). Уравнение движения такого маятника имеет вид

${ Displaystyle м (л { ddot { theta}} - ak omega ^ {2} sin omega t sin theta) = - mg sin theta -k (l { dot { theta}) } + a omega cos omega t sin theta)}$

куда ${ Displaystyle а грех омега т}$ описывает движение точки подвеса, ${ displaystyle k}$ описывает затухание маятника, а ${ displaystyle theta}$ - угол между маятником и вертикалью.

В фазовое пространство форма этого уравнения дается

${ displaystyle { begin {align} { dot {t}} & = 1 { dot { theta}} & = p { dot {p}} & = { frac {1} { ml}} (mak omega ^ {2} sin omega t sin theta -mg sin theta -k (lp + a omega cos omega t sin theta)) end {выровнено} }}$

где мы ввели переменную ${ displaystyle p}$ и записал систему как автономный, система первого порядка в ${ Displaystyle (т, тета, р)}$ -Космос.

Предположим, что угловая частота вертикальных колебаний, ${ displaystyle omega}$ , намного больше собственной частоты маятника, ${ displaystyle { sqrt {g / l}}}$ . Предположим также, что амплитуда вертикальных колебаний, ${ displaystyle a}$ , намного меньше длины ${ displaystyle l}$ маятника. Траектория маятника в фазовом пространстве будет определять спираль по кривой ${ displaystyle C}$ , двигаясь вперед ${ displaystyle C}$ в медленном темпе ${ displaystyle { sqrt {g / l}}}$ но двигаясь вокруг него с большой скоростью ${ displaystyle omega}$ . Радиус спирали вокруг ${ displaystyle C}$ будет маленьким и пропорциональным ${ displaystyle a}$ . Среднее поведение траектории в масштабе времени, намного превышающем ${ displaystyle 2 pi / omega}$ , будет следовать кривой ${ displaystyle C}$ .

Оценки ошибок расширения

Методика усреднения для задач начального значения до сих пор обрабатывалась с оценками ошибок достоверности порядка ${ displaystyle 1 / varepsilon}$ . Однако есть обстоятельства, при которых оценки могут быть продлены на большее время, даже на все времена.^[2] Ниже мы имеем дело с системой, содержащей асимптотически устойчивую неподвижную точку. Такая ситуация повторяет то, что показано на рисунке 1.

Теорема (Экхаус ^[6]/ Санчес-Паленсия ^[7]) Рассмотрим задачу начального значения