Метрическое пространство, направленное на его подпространство - Metric space aimed at its subspace - Wikipedia

В математика, а метрическое пространство, направленное на его подпространство это категоричный конструкция, имеющая прямое геометрическое значение. Это также полезный шаг к построению метрический конверт, или же тесный промежуток, которые являются базовыми (инъективными) объектами категории метрические пространства.

Следующий (Гольштынский 1966 ), понятие метрического пространства Y нацелен на его подпространство Икс определено.

Неформальное введение

Неформально представьте себе местность Y, и его часть Икс, так что где бы в Y вы ставите снайпера, а яблоко в другое место в Y, а затем позвольте снайперу выстрелить, пуля пройдет сквозь яблоко и всегда попадет в точку Икс, или, по крайней мере, он будет лететь сколь угодно близко к точкам Икс - тогда мы говорим, что Y направлен на Икс.

Априори может показаться правдоподобным, что для данного Икс суперпространства Y которые направлены на Икс может быть сколь угодно большим или хотя бы огромным. Мы увидим, что это не так. Среди пространств, стремящихся к подпространству, изометричному Икс, есть уникальный (вплоть до изометрия ) универсальный один, цель (Икс), что в смысле канонической изометрические вложения содержит любое другое пространство, нацеленное на (изометрическое изображение) Икс. А в частном случае произвольного компактного метрического пространства Икс каждое ограниченное подпространство произвольного метрического пространства Y направленный на Икс является полностью ограниченный (т.е. его метрическое пополнение компактно).

Определения

Позволять ${ displaystyle (Y, d)}$ - метрическое пространство. Позволять ${ displaystyle X}$ быть подмножеством ${ displaystyle Y}$, так что ${ displaystyle (X, d | _ {X})}$ (набор ${ displaystyle X}$ с метрикой из ${ displaystyle Y}$ ограниченный ${ displaystyle X}$) - метрическое подпространство ${ displaystyle (Y, d)}$. потом

Определение. Космос ${ displaystyle Y}$ прицел на ${ displaystyle X}$ тогда и только тогда, для всех точек ${ displaystyle y, z}$ из ${ displaystyle Y}$, и для каждого реального ${ displaystyle epsilon> 0}$, существует точка ${ displaystyle p}$ из ${ displaystyle X}$ такой, что

${ displaystyle | d (p, y) -d (p, z) |> d (y, z) - epsilon.}$

Позволять ${ displaystyle { text {Met}} (X)}$ быть пространством всех реальных ценностей метрические карты (несжимающий ) из ${ displaystyle X}$. Определять

${ displaystyle { text {Aim}} (X): = {f in operatorname {Met} (X): f (p) + f (q) geq d (p, q) { text { для всех}} p, q in X }.}$

потом

${ displaystyle d (f, g): = sup _ {x in X} | f (x) -g (x) | < infty}$

для каждого ${ displaystyle f, g in { text {Aim}} (X)}$ это метрика на ${ displaystyle { text {Aim}} (X)}$. Более того, ${ displaystyle delta _ {X} двоеточие x mapsto d_ {x}}$, куда ${ displaystyle d_ {x} (p): = d (x, p) ,}$, является изометрическим вложением ${ displaystyle X}$ в ${ displaystyle operatorname {Aim} (X)}$; по сути, это обобщение вложения Куратовского-Войдыславского ограниченных метрических пространств. ${ displaystyle X}$ в ${ Displaystyle C (X)}$, где мы рассматриваем здесь произвольные метрические пространства (ограниченные или неограниченные). Понятно, что пространство ${ displaystyle operatorname {Aim} (X)}$ направлен на ${ displaystyle delta _ {X} (X)}$.

Характеристики

Позволять ${ Displaystyle я двоеточие от X до Y}$ - изометрическое вложение. Тогда существует естественное метрическое отображение ${ displaystyle j двоеточие Y to operatorname {Aim} (X)}$ такой, что ${ displaystyle j circ i = delta _ {X}}$:

${ Displaystyle (J (Y)) (х): = d (х, y) ,}$

для каждого ${ Displaystyle х в Х ,}$ и ${ Displaystyle у в Y ,}$.

Теорема Космос Y выше нацелено на подпространство Икс тогда и только тогда, когда естественное отображение ${ displaystyle j двоеточие Y to operatorname {Aim} (X)}$ является изометрическим вложением.

Отсюда следует, что каждое пространство, направленное на Икс может быть изометрически отображен в Aim (X) при соблюдении некоторых дополнительных (существенных) категориальных требований.

Пространство Aim (X) есть инъективный (гипервыпуклый в смысле Ароншайн -Panitchpakdi) - дано метрическое пространство М, которое содержит Aim (X) в качестве метрического подпространства, существует каноническая (и явная) метрическая ретракция M на Цель (X) (Гольштынский 1966 ).

Рекомендации

• Holsztyński, W. (1966), "О метрических пространствах, направленных на их подпространства", Prace Mat., 10: 95–100, МИСТЕР  0196709