Мультикатегория - Multicategory - Wikipedia

В математика (особенно теория категорий ), а мультикатегория является обобщением концепции категория что позволяет морфизмы нескольких арность. Если морфизмы в категории рассматриваются как аналог функции, то морфизмы в мультикатегории аналогичны функциям многих переменных. Мультикатегории также иногда называют операды, или цветные операды.

Определение

(Несимметричная) мультикатегория состоит из

  • коллекция (часто правильный класс ) из объекты;
  • для каждого конечная последовательность объектов (для порядкового номера фон Неймана ) и объект Y, набор морфизмы из к Y; и
  • для каждого объекта Икс, особый морфизм тождества (с п = 1) из Икс к Икс.

Кроме того, существуют операции композиции: заданная последовательность последовательностей объектов, последовательность объектов, а объект Z: если

  • для каждого , жj это морфизм из к Yj; и
  • грамм это морфизм из к Z:

то есть составной морфизм из к Z. Это должно удовлетворять определенным аксиомам:

  • Если м = 1, Z = Y0, и грамм является морфизмом тождества для Y0, тогда грамм(ж0) = ж0;
  • если для каждого , пj = 1, , и жj является морфизмом тождества для Yj, тогда ; и
  • ан ассоциативность условие: если для каждого и , это морфизм из к , тогда идентичные морфизмы из к Z.

Категории

А comcategory (ко-мульти-категория) - это полностью заказанный набор О объектов, набор А из многострелки с двумя функциями

куда О% - множество всех конечных упорядоченных последовательностей элементов О. Двойное изображение многострелки ж можно резюмировать

Категория C также есть мультипродукт с обычным характером операции композиции. C называется ассоциативным, если выполняется аксиома мультипродукции по отношению к этому оператору.

Любая мультикатегория, симметричная или же несимметричный, вместе с полным упорядочением набора объектов, может быть превращен в эквивалентную категорию.

А многопорядковый является коматегорией, удовлетворяющей следующим условиям.

  • Существует не более одной многострелки с указанными головкой и землей.
  • Каждый объект Икс имеет единицу многострелку.
  • Многострелка - это единица, если на ее земле есть одна запись.

Мультиупорядоченность - это обобщение частичных порядков (посетов), впервые введенное (мимоходом) Томом Ленстером.[1]

Примеры

Есть мультикатегория, объекты которой (маленькие) наборы, где морфизм из множеств Икс1, Икс2, ..., и Иксп к набору Y является п-арная функция, это функция из Декартово произведение Икс1 × Икс2 × ... × Иксп к Y.

Существует мультикатегория, объекты которой векторные пространства (над рациональное число, скажем), где морфизм из векторных пространств Икс1, Икс2, ..., и Иксп в векторное пространство Y это полилинейный оператор, это линейное преобразование от тензорное произведение Икс1Икс2 ⊗ ... ⊗ Иксп к Y.

В более общем плане, учитывая любые моноидальная категория C, существует мультикатегория, объектами которой являются объекты C, где морфизм из C-объекты Икс1, Икс2, ..., и Иксп к C-объект Y это C-морфизм моноидального произведения Икс1, Икс2, ..., и Иксп к Y.

An операда мультикатегория с одним уникальным объектом; за исключением вырожденных случаев, такая мультикатегория не происходит из моноидальной категории.

Примеры мультиордеров включают точечные мультимножества (последовательность A262671 в OEIS ), целые разделы (последовательность A063834 в OEIS ), и комбинаторные разделения (последовательность A269134 в OEIS ). Треугольники (или композиции) любого многопорядка являются морфизмами (не обязательно ассоциативной) категории схватки и категория разложения. Категория сжатия для мультиорядка multimin разделы (последовательность A255397 в OEIS ) - простейшая из известных категорий мультимножеств.[2]

Приложения

Мультикатегории часто ошибочно считаются принадлежащими теория высших категорий, поскольку их первоначальным приложением было наблюдение, что операторы и идентичности, удовлетворяемые более высокими категориями, являются объектами и множественными стрелками мультикатегории. Изучение п-категории, в свою очередь, были мотивированы приложениями в алгебраическая топология и пытается описать теория гомотопии высших измерений коллекторы. Однако это в основном выросло из этой мотивации и теперь также считается частью чистой математики.[1]

Соответствие стягиваний и разложений треугольников в мультиупорядке позволяет построить ассоциативная алгебра назвал его алгебра инцидентности. Любой элемент, отличный от нуля на всех единичных стрелках, имеет композиционный обратный, и Функция Мёбиуса многопорядка определяется как композиция, обратная дзета-функции (константа-единица) в ее алгебре инцидентности.

История

Мультикатегории были впервые введены под этим названием Джим Ламбек в "Дедуктивных системах и категориях II" (1969)[3] Он упоминает (стр. 108), что ему «сказали, что мультикатегории также изучались [Жаном] Бенабу и [Пьером] Картье», и действительно Ленстер полагает, что «идея могла прийти в голову любому, кто знал, что такое категория и многолинейная карта была ».[1]:63

Рекомендации

  1. ^ а б Том Ленстер (2004). Высшие операды, высшие категории. Издательство Кембриджского университета. arXiv:математика / 0305049. Bibcode:2004hohc.book ..... L., Пример 2.1.7, стр. 37
  2. ^ Уайзман, Гас. "Категории и мультизаказы". Гугл документы. Получено 9 мая 2016.
  3. ^ .Ламбек, Иоахим (1969). «Дедуктивные системы и категории II. Типовые конструкции и закрытые категории». Конспект лекций по математике. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. Дои:10.1007 / bfb0079385. ISBN  978-3-540-04605-9. ISSN  0075-8434.CS1 maint: ref = harv (связь)