В математике Лемма Шрайера это теорема в теория групп используется в Алгоритм Шрайера – Симса а также для поиска презентация из подгруппа.
Заявление
Предполагать
это подгруппа из
, который конечно порожден порождающим множеством
, то есть, грамм =
.
Позволять
быть правым поперечный из
в
. Другими словами,
это (образ) раздел факторной карты
, куда
обозначает набор правые классы из
в
.
Мы даем определение, которое дает
∈
,
выбранный представитель в трансверсальной
сословия
, то есть,
![{ displaystyle g in H { overline {g}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48b233cc7d4f89a5e3fd7f4f665757a5bf1ff7ec)
потом
порождается множеством
![{ displaystyle {rs ({ overline {rs}}) ^ {- 1} | r in R, s in S }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ccd74074a24bf54b2523e90b468fac5bede6e2)
Пример
Установим очевидный факт, что группа Z3 = Z/3Z действительно цикличен. Через Теорема Кэли, Z3 является подгруппой симметричная группа S3. Сейчас же,
![{ Displaystyle mathbb {Z} _ {3} = {е, (1 2 3), (1 3 2) }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34a88a9e779256a94e755eb4aeb208e78f550dac)
![{ Displaystyle S_ {3} = {е, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/843395bc72e27457fa5cfc2d4fb7d6a266c600cd)
куда
- тождественная перестановка. Примечание S3 =
{ s1=(1 2), s2 = (1 2 3) }
.
Z3 имеет всего два смежных класса, Z3 и S3 \ Z3, поэтому выбираем трансверсаль { т1 = е, т2= (1 2)}, и имеем
![{ displaystyle { begin {matrix} t_ {1} s_ {1} = (1 2), & quad { text {so}} quad & { overline {t_ {1} s_ {1}} } = (1 2) t_ {1} s_ {2} = (1 2 3), & quad { text {so}} quad & { overline {t_ {1} s_ {2 }}} = e t_ {2} s_ {1} = e, & quad { text {so}} quad & { overline {t_ {2} s_ {1}}} = e t_ {2} s_ {2} = (2 3), & quad { text {so}} quad & { overline {t_ {2} s_ {2}}} = (1 2). end {matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3796efbbea86cda02d2ecdd79702e08b9341e700)
Ну наконец то,
![{ displaystyle t_ {1} s_ {1} { overline {t_ {1} s_ {1}}} ^ {- 1} = e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d6a1212869064f42588d7674dc3c0600cfed27)
![{ displaystyle t_ {1} s_ {2} { overline {t_ {1} s_ {2}}} ^ {- 1} = (1 2 3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49a9af941d111c765643530634f06a48afc3b2ad)
![{ displaystyle t_ {2} s_ {1} { overline {t_ {2} s_ {1}}} ^ {- 1} = e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a4a9172087d6b93a5bd26c2d75917518c584ffa)
![{ displaystyle t_ {2} s_ {2} { overline {t_ {2} s_ {2}}} ^ {- 1} = (1 2 3).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8073f8ec40287fe0000f89be909201d336e4d6df)
Таким образом, по лемме Шрайера о подгруппах {e, (1 2 3)} порождает Z3, но наличие идентификатора в генераторной установке является избыточным, поэтому мы можем удалить его, чтобы получить другую генераторную установку для Z3, {(1 2 3)} (как и ожидалось).
Рекомендации
- Сересс, А. Алгоритмы группы перестановок. Издательство Кембриджского университета, 2002.