Подсолнечник (математика) - Sunflower (mathematics)

Математический подсолнух можно изобразить в виде цветка. Ядро подсолнечника - это коричневая часть посередине, а каждый набор подсолнечника представляет собой соединение лепестка и ядра.

В математика, а подсолнечник или же ${displaystyle Delta}$ -система^[1] это собрание наборы чьи попарно пересечение постоянно. Это постоянное пересечение называется ядро подсолнечника.

Главный вопрос исследования, связанный с подсолнухами: при каких условиях существует большой подсолнечник (подсолнух с множеством наборов)? В ${displaystyle Delta}$ -лемма, лемма подсолнечника, и догадка подсолнечника дают различные условия, предполагающие наличие большого подсолнечника в данном наборе наборов.

Формальное определение

Предполагать ${displaystyle W}$ это установить систему, то есть набор подмножества набора ${displaystyle U}$ . Коллекция ${displaystyle W}$ это подсолнечник (или же ${displaystyle Delta}$ -система), если есть подмножество ${displaystyle S}$ из ${displaystyle U}$ так что для каждого отчетливый ${displaystyle A}$ и ${displaystyle B}$ в ${displaystyle W}$ , у нас есть ${displaystyle Acap B = S}$ . Другими словами, ${displaystyle W}$ является подсолнухом, если попарное пересечение каждого множества в ${displaystyle W}$ константа. Обратите внимание, что это пересечение, ${displaystyle S}$ , может быть пустой; коллекция непересекающийся подмножества тоже подсолнух.

Лемма и гипотеза о подсолнечнике

Эрдеш и Радо (1960, п. 86) доказал лемма подсолнечника, заявив, что если ${displaystyle a}$ и ${displaystyle b}$ положительные целые числа затем сборник ${displaystyle b! a ^ {b + 1}}$ наборы мощности не более ${displaystyle b}$ содержит подсолнечник с более чем ${displaystyle a}$ наборы.

В догадка подсолнечника является одним из нескольких вариантов гипотезы Эрдеш и Радо (1960, п. 86), что коэффициент ${displaystyle b!}$ можно заменить на ${displaystyle C ^ {b}}$ для некоторой постоянной ${displaystyle C}$ . Работа Альвейса, Ловетта, Ву и Чжана 2020 г. дает лучший прогресс в направлении гипотезы, доказывая результат для ${displaystyle C = (log b) ^ {1 + o (1)}}$ (Alweiss et al. 2020 г. ).^[2]

Аналог для бесконечных наборов множеств

В ${displaystyle Delta}$ -лемма заявляет, что каждый бесчисленный коллекция конечные множества содержит бесчисленное множество ${displaystyle Delta}$ -система.

В ${displaystyle Delta}$ -лемма - это комбинаторный теоретико-множественный инструмент, используемый в доказательствах, чтобы наложить верхняя граница от размера набора попарно несовместимых элементов в принуждение посеть. Например, он может использоваться в качестве одного из ингредиентов доказательства, показывающего, что он соответствует Теория множеств Цермело – Френкеля что гипотеза континуума не держит. Он был представлен Шанин (1946 ).

Если ${displaystyle W}$ является ${displaystyle omega _ {2}}$ -размерная коллекция счетный подмножества ${displaystyle omega _ {2}}$ , и если гипотеза континуума верна, то существует ${displaystyle omega _ {2}}$ размер ${displaystyle Delta}$ -подсистема. Позволять ${displaystyle langle A_ {alpha}: alpha$ перечислять ${displaystyle W}$ . За ${displaystyle operatorname {cf} (alpha) = omega _ {1}}$ , позволять ${displaystyle f (alpha) = sup (A_ {alpha} cap alpha)}$ . К Лемма Фодора, исправить ${displaystyle S}$ стационарный в ${displaystyle omega _ {2}}$ такой, что ${displaystyle f}$ постоянно равен ${displaystyle eta}$ на ${displaystyle S}$ .Строить ${displaystyle S'subseteq S}$ из мощность ${displaystyle omega _ {2}}$ так что всякий раз, когда ${displaystyle i$ находятся в ${displaystyle S '}$ тогда ${displaystyle A_ {i} subteq j}$ . Используя гипотезу континуума, есть только ${displaystyle omega _ {1}}$ -много счетных подмножеств ${displaystyle eta}$ , таким образом, дальнейшим прореживанием мы можем стабилизировать ядро.

Смотрите также

Набор крышек

Примечания

^ Первоначальный термин для этой концепции был " ${displaystyle Delta}$ -система. Совсем недавно термин «подсолнечник», возможно, введенный Деза и Франкл (1981), постепенно его заменяет.
^ "Quanta Magazine - светящаяся наука". Журнал Quanta. Получено 2019-11-10.

[1] Первоначальный термин для этой концепции был " ${displaystyle Delta}$ -система. Совсем недавно термин «подсолнечник», возможно, введенный Деза и Франкл (1981), постепенно его заменяет.

[2] "Quanta Magazine - светящаяся наука". Журнал Quanta. Получено 2019-11-10.

[1]

[2]