U-ранг - U-rank

В теория моделей, раздел математической логики, U-ранг является мерой сложности (полного) типа в контексте стабильные теории. Как обычно, более высокий U-ранг указывает на меньшее ограничение, а существование U-ранга для всех типов по всем множествам эквивалентно важному теоретико-модельному условию: в этом случае сверхстабильность.

Определение

U-ранг определяется индуктивно следующим образом для любого (полного) n-типа p над любым множеством A:

U(п) ≥ 0
Если δ предельный ординал, то U(п) ≥ δ именно когда U(п) ≥ α для всех α меньше, чем δ
Для любого α = β + 1, U(п) ≥ α именно тогда, когда есть разветвление q из п с участием U(q) ≥ β

Мы говорим что U(п) = α когда U(п) ≥ α но нет U(п) ≥ α + 1.

Если U(п) ≥ α для всех ординалов α, мы говорим, что U-ранг неограничен, или U(п) = ∞.

Примечание: U-ранг формально обозначается ${ displaystyle U_ {n} (p)}$ , где p на самом деле p (x), а x - набор переменных длины n. Этот нижний индекс обычно опускается, если не может возникнуть путаница.

Теории ранжирования

U-ранг монотонный в своей области. То есть предположим п это полный тип над А и B это подмножествоА. Тогда для q ограничение п к B, U(q) ≥ U(п).

Если мы возьмем B (вверху) быть пустым, то мы получим следующее: если есть п-тип ппо некоторому набору параметров с рангом не менее α, то над пустым множеством существует тип ранга не менееα. Таким образом, мы можем определить для полной (стабильной) теории Т, ${ Displaystyle U_ {n} (T) = sup {U_ {n} (p): p in S (T) }}$ .

Затем мы получаем краткую характеристику сверхстабильности; стабильная теория Т сверхстабильно тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle U_ {п} (Т) < infty}$ для каждогоп.

Свойства

Как отмечалось выше, U-ранг монотонен в своей области.
Если п имеет ранг U α, то для любого β < α, есть разветвление q из п с рангом Uβ.
Если п это тип б над А, есть какой-то набор B расширение А, с участием q тип б над B.
Если п без рейтинга (то есть п имеет U-ранг ∞), то существует разветвляющееся расширение q из п который также не имеет рейтинга.
Даже при отсутствии сверхстабильности существует порядковый β что является максимальным рангом для всех ранжированных типов, и для любого α < β, есть тип п ранга α, а если ранг п больше, чем β, то оно должно быть ∞.

Примеры

U(п)> 0 именно тогда, когда п неалгебраический.
Если Т это теория алгебраически замкнутые поля (любой фиксированной характеристики), то ${ Displaystyle U_ {1} (Т) = 1}$ . Далее, если А любой набор параметров и K поле, создаваемое А, то 1-тип п над А имеет ранг 1, если (все реализации) п трансцендентны над K, и 0 в противном случае. В более общем плане п-тип п над А имеет ранг U k, степень трансцендентности (более K) любой реализации этого.

использованная литература

Пиллэй, Ананд (2008) [1983]. Введение в теорию устойчивости. Дувр. п. 57. ISBN 978-0-486-46896-9.