Формулы Винсентиса - Vincentys formulae - Wikipedia

Формулы Винсенти два связанных итерационные методы используется в геодезия для расчета расстояния между двумя точками на поверхности сфероида, разработанного Фаддей Винсенти (1975a). Они основаны на предположении, что фигура Земли является сплюснутый сфероид, и, следовательно, более точны, чем методы, предполагающие сферический Земля, например расстояние по дуге.

Первый (прямой) метод вычисляет местоположение точки на заданном расстоянии и азимут (направление) из другой точки. Второй (обратный) метод вычисляет географическое расстояние и азимут между двумя заданными точками. Они широко используются в геодезии, поскольку имеют точность до 0,5 мм (0,020 в) на Эллипсоид Земли.

Фон

Целью Винсенти было изложить существующие алгоритмы для геодезические на эллипсоиде в форме, которая минимизировала длину программы (Винсенти 1975a). В его неопубликованном отчете (1975b) упоминается использование Ван Настольный калькулятор 720, в котором было всего несколько килобайт памяти. Чтобы получить хорошую точность для длинных линий, в решении используется классическое решение Лежандра (1806 г.), Бесселя (1825 г.) и Гельмерта (1880 г.) на основе вспомогательной сферы. Винсенти опирался на формулировку этого метода, данную Рейнсфордом, 1955. Лежандр показал, что эллипсоидальную геодезическую можно точно сопоставить с большим кругом на вспомогательной сфере, сопоставив географическую широту с уменьшенной широтой и установив азимут большого круга равным этому значению. геодезической. Затем долгота на эллипсоиде и расстояние вдоль геодезической задаются через долготу на сфере и длину дуги вдоль большого круга с помощью простых интегралов. Бессель и Хельмерт дали быстро сходящиеся ряды для этих интегралов, которые позволяют вычислять геодезические с произвольной точностью.

Чтобы минимизировать размер программы, Винсенти взял эти серии, повторно расширил их, используя первый член каждой серии в качестве малого параметра,[требуется разъяснение ] и усек их до . Это привело к компактным выражениям для интегралов долготы и расстояния. Выражения были вставлены Хорнер (или же вложенный), поскольку это позволяет вычислять многочлены, используя только один временный регистр. Наконец, простые итерационные методы использовались для решения неявных уравнений в прямом и обратном методах; хотя они и медленные (а в случае обратного метода он иногда не сходится), они приводят к наименьшему увеличению размера кода.

Обозначение

Определим следующие обозначения:

адлина полу-большая ось эллипсоида (радиус на экваторе);(6378137,0 метров в WGS-84 )
ƒсплющивание эллипсоида;(1 / 298,257223563 дюйма WGS-84 )
б = (1 − ƒадлина полу-малая ось эллипсоида (радиус на полюсах);(6356752,314245 метров в WGS-84 )
Φ1, Φ2широта точек;
U1 = arctan ((1 -ƒ) загарΦ1 ),
U2 = arctan ((1 -ƒ) загар Φ2 )
уменьшенная широта (широта на вспомогательной сфере)
L1, L2долгота точек;
L = L2 − L1разница в долгота из двух точек;
λРазница долготы точек на вспомогательной сфере;
α1, α2вперед азимуты по точкам;
αвперед азимут геодезической на экваторе, если она была продлена так далеко;
sэллипсоидальное расстояние между двумя точками;
σугловое расстояние между точками
σ1угловое разделение между точкой и экватором
σмугловое разделение между средней точкой линии и экватором

Обратная задача

Учитывая координаты двух точек (Φ1L1) и (Φ2L2) обратная задача находит азимуты α1, α2 и эллипсоидальное расстояние s.

Рассчитать U1, U2 и L, и установите начальное значение λ = L. Затем итеративно оценивайте следующие уравнения, пока λ сходится:

[1]
[2]
[3]

Когда λ достиг желаемой степени точности (10−12 соответствует примерно 0,06 мм), оцените следующее:

Между двумя почти противоположными точками итерационная формула может не сойтись; это произойдет, когда первое предположение λ как вычислено по приведенному выше уравнению больше, чем π по абсолютной величине.

Прямая проблема

Учитывая начальную точку (Φ1, L1) и начальный азимут, α1, и расстояние, s, по геодезической задача состоит в том, чтобы найти конечную точку (Φ2, L2) и азимут, α2.

Начнем с вычисления следующего:

Затем, используя начальное значение , повторяйте следующие уравнения до тех пор, пока не произойдет значительного изменения σ:

Один раз σ получается с достаточной точностью оценить:

Если начальная точка находится на Северном или Южном полюсе, то первое уравнение неопределенно. Если начальный азимут направлен на восток или запад, то второе уравнение не определено. Если двойное значение atan2 type, то эти значения обычно обрабатываются правильно.[требуется разъяснение ]

Модификация Винсенти

В своем письме в Survey Review в 1976 году Винсенти предложил заменить свои выражения ряда на А и B с более простыми формулами с использованием параметра расширения Гельмерта k1:

куда

Почти противоположные точки

Как отмечалось выше, итеративное решение обратной задачи не может сходиться или сходится медленно для почти противоположных точек. Пример медленной сходимости (Φ1L1) = (0 °, 0 °) и (Φ2L2) = (0.5 °, 179.5 °) для эллипсоида WGS84. Для этого требуется около 130 итераций, чтобы получить результат с точностью до 1 мм. В зависимости от того, как реализован обратный метод, алгоритм может вернуть правильный результат (19936288,579 м), неправильный результат или индикатор ошибки. Пример неверного результата дает Онлайн-утилита NGS, который возвращает расстояние примерно на 5 км больше. Винсенти предложил метод ускорения сходимости в таких случаях (Rapp, 1973).

Пример неспособности обратного метода сходиться: (Φ1L1) = (0 °, 0 °) и (Φ2L2) = (0.5 °, 179.7 °) для эллипсоида WGS84. В неопубликованном отчете Винсенти (1975b) дал альтернативную итеративную схему для обработки таких случаев. Это сходится к правильному результату 19944127,421 м примерно после 60 итераций; однако в других случаях требуются многие тысячи итераций.

Метод Ньютона используется для быстрой сходимости всех пар входных точек (Karney, 2013).

Смотрите также

Примечания

  1. ^ σ не оценивается напрямую из грехаσ или потому чтоσ для сохранения числовой точности вблизи полюсов и экватора
  2. ^ Если грех σ = 0 ценность греха α неопределенно. Он представляет собой конечную точку, совпадающую с начальной точкой или диаметрально противоположную ей.
  3. ^ Где начальная и конечная точки находятся на экваторе, C = 0 и ценность не используется. Предельное значение .

Рекомендации

внешняя ссылка