Лемма Уайтхеда (алгебра Ли) - Whiteheads lemma (Lie algebra) - Wikipedia

В гомологическая алгебра, Леммы Уайтхеда (названный в честь Дж. Х. К. Уайтхед ) представляют собой серию утверждений относительно теория представлений конечномерных, полупростые алгебры Ли в нулевой характеристике. Исторически они считаются ведущими к открытию Когомологии алгебры Ли.[1]

Обычно различают Первая и вторая леммы Уайтхеда для соответствующих утверждений о когомологиях первого и второго порядков, соответственно, но есть аналогичные утверждения, относящиеся к когомологиям алгебры Ли в произвольных порядках, которые также приписываются Уайтхеду.

Первая лемма Уайтхеда - важный шаг к доказательству Теорема Вейля о полной сводимости.

Заявления

Не упоминая группы когомологий, можно сформулировать первую лемму Уайтхеда следующим образом: Пусть - конечномерная полупростая алгебра Ли над полем нулевой характеристики, V конечномерный модуль над этим, и линейное отображение такое, что

.

Тогда существует вектор такой, что для всех .С точки зрения Когомологии алгебры Ли, это по определению равносильно тому, что для каждого такого представления. Доказательство использует Элемент Казимира (см. доказательство ниже).[2]

Аналогично, вторая лемма Уайтхеда утверждает, что в условиях первой леммы также .

Другое родственное утверждение, которое также приписывается Уайтхеду, описывает когомологии алгебр Ли в произвольном порядке: при тех же условиях, что и в предыдущих двух утверждениях, но далее пусть быть несводимый под -действие и пусть действовать нетривиально, поэтому . потом для всех .[3]

Доказательство[4]

Как и выше, пусть - конечномерная полупростая алгебра Ли над полем нулевой характеристики и конечномерное представление (которое полупросто, но в доказательстве этот факт не используется).

Позволять куда это идеал . Тогда, поскольку полупроста, форма следа , относительно , невырождена на . Позволять быть основой и дуальный базис по отношению к этой форме следа. Затем определите Элемент Казимира к

который является элементом универсальной обертывающей алгебры . Через , он действует на V как линейный эндоморфизм (а именно, .) Ключевым свойством является то, что он коммутирует с в смысле для каждого элемента . Также,

Теперь по Лемма Фиттинга, имеем разложение векторного пространства такой, что является (точно определенным) нильпотентный эндоморфизм за и является автоморфизмом для . С ездит с , каждый это -подмодуль. Следовательно, достаточно доказать лемму отдельно для и .

Сначала предположим является нильпотентным эндоморфизмом. Тогда, по раннему наблюдению, ; то есть, - тривиальное представление. С , условие на подразумевает, что для каждого ; т.е. нулевой вектор удовлетворяет требованию.

Во-вторых, предположим это автоморфизм. Для простоты обозначений опустим и писать . Также позвольте обозначают форму трассировки, использованную ранее. Позволять , который является вектором в . потом

Сейчас же,

и с тех пор , второй член разложения является

Таким образом,

С обратима и ездит с , вектор имеет требуемое свойство.

Примечания

  1. ^ Якобсон, п. 93
  2. ^ Якобсон, п. 77, стр. 95
  3. ^ Якобсон, п. 96
  4. ^ Якобсон 1962, Гл. III, § 7, лемма 3.

Рекомендации

  • Джейкобсон, Натан, Алгебры Ли, Переиздание оригинала 1962 года. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1979. ISBN  0-486-63832-4