Непрерывное встраивание - Continuous embedding

В математика, один нормированное векторное пространство как говорят постоянно внедренный в другом нормированном векторном пространстве, если функция включения между ними непрерывный. В некотором смысле эти две нормы «почти эквивалентны», хотя обе они не определены в одном и том же пространстве. Некоторые из Теоремы вложения Соболева являются непрерывными теоремами вложения.

Определение

Позволять Икс и Y - два нормированных векторных пространства с нормами || · ||_Икс и || · ||_Y соответственно такие, что Икс ⊆ Y. Если карта включения (функция идентичности)

${displaystyle i: Xhookrightarrow Y: xmapsto x}$

непрерывно, т.е. если существует постоянная C ≥ 0 такой, что

${displaystyle | x | _ {Y} leq C | x | _ {X}}$

для каждого Икс в Икс, тогда Икс как говорят постоянно внедренный в Y. Некоторые авторы используют загнутую стрелку «↪» для обозначения непрерывного вложения, т. Е. «Икс ↪ Y" средства "Икс и Y нормированные пространства с Икс постоянно встроен в Y». Это последовательное использование обозначений с точки зрения категория топологических векторных пространств, в которой морфизмы («Стрелки») - это непрерывные линейные карты.

Примеры

• Конечномерный пример непрерывного вложения дается естественным вложением реальная линия Икс = р в самолет Y = р², где оба пространства заданы евклидовой нормой:

${displaystyle i: mathbf {R} o mathbf {R} ^ {2}: xmapsto (x, 0)}$

В этом случае ||Икс||_Икс = ||Икс||_Y для каждого реального числа Икс. Ясно, что оптимальный выбор постоянной C является C = 1.

• Бесконечномерный пример непрерывного вложения дает Теорема Реллиха – Кондрахова.: пусть Ω ⊆р^п быть открыто, ограниченный, Липшицевский домен, и пусть 1 ≤п < п. Набор

${displaystyle p ^ {*} = {frac {np} {n-p}}.}$

Тогда пространство Соболева W^1,п(Ω;р) непрерывно вкладывается в L^п Космос L^п∗(Ω;р). Фактически, при 1 ≤q < п^∗, это вложение компактный. Оптимальная константа C будет зависеть от геометрии области Ω.

• Бесконечномерные пространства также предлагают примеры прерывистый вложения. Например, рассмотрим

${displaystyle X = Y = C ^ {0} ([0,1]; mathbf {R}),}$

пространство непрерывных действительных функций, определенных на единичном интервале, но снабженных Икс с L¹ норма и Y с верхняя норма. За п ∈ N, позволять ж_п быть непрерывный, кусочно-линейная функция данный

${displaystyle f_ {n} (x) = {egin {cases} -n ^ {2} x + n, & 0leq xleq {frac {1} {n}}; 0, & {ext {иначе.}} end { случаи}}}$

Затем для каждого п, ||ж_п||_Y = ||ж_п||_∞ = п, но

${displaystyle | f_ {n} | _ {L ^ {1}} = int _ {0} ^ {1} | f_ {n} (x) |, mathrm {d} x = {frac {1} {2} }.}$

Следовательно, нет постоянной C можно найти такое, что ||ж_п||_Y ≤ C||ж_п||_Икс, поэтому вложение Икс в Y прерывистый.

Смотрите также

• Компактное встраивание

Рекомендации

• Реннарди М. и Роджерс Р. (1992). Введение в уравнения с частными производными. Шпрингер-Верлаг, Берлин. ISBN  3-540-97952-2.