Матрица тОбозначение | ![{{ rm {T}}} _ {{n, p}} ( nu, { mathbf {M}}, { boldsymbol Sigma}, { boldsymbol Omega})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09eb1b6a73b39b3fd7a174568bf865589f6e07cb) |
---|
Параметры | место расположения (настоящий матрица )
шкала (положительно определенный настоящий матрица )
шкала (положительно определенный настоящий матрица )
степени свободы |
---|
Поддерживать | ![{ mathbf {X}} in { mathbb {R}} ^ {{п раз p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/930a80c4db3e843d9cdf894e87fa09551bdddecd) |
---|
PDF | ![{ frac { Gamma _ {p} left ({ frac { nu + n + p-1} {2}} right)} {( pi) ^ {{ frac {np} {2} }} Gamma _ {p} left ({ frac { nu + p-1} {2}} right)}} | { boldsymbol Omega} | ^ {{- { frac {n} { 2}}}} | { boldsymbol Sigma} | ^ {{- { frac {p} {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b736fd9fe25b348b38373cf043a3611f5e7d69)
![times left | { mathbf {I}} _ {n} + { boldsymbol Sigma} ^ {{- 1}} ({ mathbf {X}} - { mathbf {M}}) { boldsymbol Omega} ^ {{- 1}} ({ mathbf {X}} - { mathbf {M}}) ^ {{{ rm {T}}}} right | ^ {{- { frac { ню + п + р-1} {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a85185c55be2c0dffe3325cac70b264f095b08)
|
---|
CDF | Нет аналитического выражения |
---|
Иметь в виду | если , иначе undefined |
---|
Режим | ![mathbf {M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e499ae5946af9c09777ada933051b3669d3372c2) |
---|
Дисперсия | если , иначе undefined |
---|
CF | Смотри ниже |
---|
В статистика, то матрица т-распределение (или же матрица варьируется т-распределение) является обобщением многомерный т-распределение от векторов к матрицы.[1] Матрица т-распределение имеет те же отношения с многомерным т-распределение, которое матричное нормальное распределение делится с многомерное нормальное распределение.[требуется разъяснение ] Например, матрица т-распределение составное распределение который является результатом выборки из нормального распределения матрицы, в результате которой ковариационная матрица нормальной матрицы была выбрана из обратное распределение Уишарта.[нужна цитата ]
В Байесовский анализ из многомерная линейная регрессия модель на основе нормального распределения матрицы, матрица т-распределение апостериорное прогнозирующее распределение.
Определение
Для матрицы т-распределение, функция плотности вероятности в момент
из
пространство
![f ({ mathbf {X}}; nu, { mathbf {M}}, { boldsymbol Sigma}, { boldsymbol Omega}) = K times left | { mathbf {I}} _ {n} + { boldsymbol Sigma} ^ {{- 1}} ({ mathbf {X}} - { mathbf {M}}) { boldsymbol Omega} ^ {{- 1}} ({ mathbf {X}} - { mathbf {M}}) ^ {{{ rm {T}}}} right | ^ {{- { frac { nu + n + p-1} {2}} }},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b707b3627732774343e7a30a32f064cc11803868)
где постоянная интегрирования K дан кем-то
![{ displaystyle K = { frac { Gamma _ {p} left ({ frac { nu + n + p-1} {2}} right)} {( pi) ^ { frac {np } {2}} Gamma _ {p} left ({ frac { nu + p-1} {2}} right)}} | { boldsymbol { Omega}} | ^ {- { frac {n} {2}}} | { boldsymbol { Sigma}} | ^ {- { frac {p} {2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee9d68e085ae3bf941cceb9646cad4b55c756e87)
Здесь
это многомерная гамма-функция.
В характеристическая функция и различные другие свойства могут быть получены из обобщенной матрицы т-распространение (см. ниже).
Обобщенная матрица т-распределение
Обобщенная матрица tОбозначение | ![{{ rm {T}}} _ {{n, p}} ( alpha, beta, { mathbf {M}}, { boldsymbol Sigma}, { boldsymbol Omega})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8af5729621f66830c7ce9402bf4a4cceedc54ea8) |
---|
Параметры | место расположения (настоящий матрица )
шкала (положительно определенный настоящий матрица )
шкала (положительно определенный настоящий матрица )
параметр формы
параметр масштаба |
---|
Поддерживать | ![{ mathbf {X}} in { mathbb {R}} ^ {{п раз p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/930a80c4db3e843d9cdf894e87fa09551bdddecd) |
---|
PDF | ![{ frac { Gamma _ {p} ( alpha + n / 2)} {(2 pi / beta) ^ {{ frac {np} {2}}} Gamma _ {p} ( alpha )}} | { boldsymbol Omega} | ^ {{- { frac {n} {2}}}} | { boldsymbol Sigma} | ^ {{- { frac {p} {2}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15bb844dcb9b9486b97e36b9051c0545f1d158b3)
![times left | { mathbf {I}} _ {n} + { frac { beta} {2}} { boldsymbol Sigma} ^ {{- 1}} ({ mathbf {X}} - { mathbf {M}}) { boldsymbol Omega} ^ {{- 1}} ({ mathbf {X}} - { mathbf {M}}) ^ {{{ rm {T}}}} right | ^ {{- ( alpha + n / 2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88e4b2f63e691fd4c02d1da1a1096c00a9d87c7a)
|
---|
CDF | Нет аналитического выражения |
---|
Иметь в виду | ![mathbf {M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e499ae5946af9c09777ada933051b3669d3372c2) |
---|
Дисперсия | ![{ displaystyle { frac {2 ({ boldsymbol { Sigma}} otimes { boldsymbol { Omega}})} { beta (2 alpha -p-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fb5420d6d75b4a3e1301664c8ecf57ea3c28af7) |
---|
CF | Смотри ниже |
---|
В обобщенная матрица т-распределение является обобщением матрицы т-распределение с двумя параметрами α и β на месте ν.[2]
Это сводится к стандартной матрице т-распространение с ![beta = 2, alpha = { frac { nu + p-1} {2}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b4f4601201e9db7848a91a0b3b03bff6eaf46ee)
Обобщенная матрица т-распределение составное распределение что является результатом бесконечного смесь матричного нормального распределения с обратное многомерное гамма-распределение помещается над любой из его ковариационных матриц.
Характеристики
Если
тогда[нужна цитата ]
![{ mathbf {X}} ^ {{{ rm {T}}}} sim {{ rm {T}}} _ {{p, n}} ( alpha, beta, { mathbf {M }} ^ {{{ rm {T}}}}, { boldsymbol Omega}, { boldsymbol Sigma}).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4158e42f5c36666e3b48241619a5881696191554)
Указанное выше свойство исходит от Теорема сильвестра о детерминанте:
![det left ({ mathbf {I}} _ {n} + { frac { beta} {2}} { boldsymbol Sigma} ^ {{- 1}} ({ mathbf {X}} - { mathbf {M}}) { boldsymbol Omega} ^ {{- 1}} ({ mathbf {X}} - { mathbf {M}}) ^ {{{ rm {T}}}} справа) =](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efdd1a6e65b334423730e667c494c03e129b48d1)
![det left ({ mathbf {I}} _ {p} + { frac { beta} {2}} { boldsymbol Omega} ^ {{- 1}} ({ mathbf {X}} ^ {{{ rm {T}}}} - { mathbf {M}} ^ {{{ rm {T}}}}) { boldsymbol Sigma} ^ {{- 1}} ({ mathbf { X}} ^ {{{ rm {T}}}} - { mathbf {M}} ^ {{{ rm {T}}}}) ^ {{{ rm {T}}}} right ).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68ba061322556617cfdd5c38770e60d883e0038b)
Если
и
и
находятся невырожденные матрицы тогда[нужна цитата ]
![{ mathbf {AXB}} sim {{ rm {T}}} _ {{n, p}} ( alpha, beta, { mathbf {AMB}}, { mathbf {A}} { boldsymbol Sigma} { mathbf {A}} ^ {{{ rm {T}}}}, { mathbf {B}} ^ {{{ rm {T}}}} { boldsymbol Omega} { mathbf {B}}).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a771e65b9f988199913046d0bf280f3fbcc9af)
В характеристическая функция является[2]
![phi _ {T} ({ mathbf {Z}}) = { frac { exp ({{ rm {tr}}} (i { mathbf {Z}} '{ mathbf {M}})) ) | { boldsymbol Omega} | ^ { alpha}} { Gamma _ {p} ( alpha) (2 beta) ^ {{ alpha p}}}} | { mathbf {Z}} ' { boldsymbol Sigma} { mathbf {Z}} | ^ { alpha} B _ { alpha} left ({ frac {1} {2 beta}} { mathbf {Z}} '{ boldsymbol Sigma} { mathbf {Z}} { boldsymbol Omega} right),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09a597f48d6637329da2d74cd4546e2d45a14b3d)
куда
![B _ { delta} ({ mathbf {WZ}}) = | { mathbf {W}} | ^ {{- delta}} int _ {{{ mathbf {S}}> 0}} exp left ({{ rm {tr}}} (- { mathbf {SW}} - { mathbf {S ^ {{- 1}} Z}}) right) | { mathbf {S}} | ^ {{- delta - { frac 12} (p + 1)}} d { mathbf {S}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad2fceffdf1dee1a09c574d3dafaf31cb9802c14)
и где
это второй тип Функция Бесселя Герца[требуется разъяснение ] матричного аргумента.
Смотрите также
Примечания
- ^ Чжу, Шэнхуо, Кай Ю и Ихонг Гун (2007). "Прогнозирующая матрица-переменная т Модели ». В J. C. Platt, D. Koller, Y. Singer и S. Roweis, редакторах, NIPS '07: Достижения в системах обработки нейронной информации 20, страницы 1721–1728. MIT Press, Кембридж, Массачусетс, 2008. Обозначения немного изменены в этой статье для согласования с матричное нормальное распределение статья.
- ^ а б Иранманеш, Анис, М. Араши и С. М. Табатабаей (2010). "Об условных приложениях нормального распределения матричной переменной". Иранский журнал математических наук и информатики, 5: 2, стр. 33–43.
внешняя ссылка
|
---|
Дискретный одномерный с конечной опорой | |
---|
Дискретный одномерный с бесконечной поддержкой | |
---|
Непрерывный одномерный поддерживается на ограниченном интервале | |
---|
Непрерывный одномерный поддерживается на полубесконечном интервале | |
---|
Непрерывный одномерный поддерживается на всей реальной линии | |
---|
Непрерывный одномерный с поддержкой, тип которой варьируется | |
---|
Смешанная непрерывно-дискретная одномерная | |
---|
Многовариантный (совместный) | |
---|
Направленный | |
---|
Вырожденный и единственное число | |
---|
Семьи | |
---|