Многомерный Лаплас (симметричный)Параметры | μ ∈ рk — место расположения Σ ∈ рк × к — ковариация (положительно определенная матрица ) |
---|
Поддерживать | Икс ∈ μ + промежуток (Σ) ⊆ рk |
---|
PDF | - Если
,
![{ displaystyle { frac {2} {(2 pi) ^ {k / 2} | { boldsymbol { Sigma}} | ^ {0.5}}} left ({ frac { mathbf {x} ' { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} mathbf {x}} {2}} right) ^ {v / 2} K_ {v} left ({ sqrt {2 mathbf {x} ' { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} mathbf {x}}} right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/587cd57292bd9a10bf78083eefc1267c877457e7) куда и это модифицированная функция Бесселя второго рода.
|
---|
Иметь в виду | μ |
---|
Режим | μ |
---|
Дисперсия | Σ |
---|
Асимметрия | 0 |
---|
CF | ![{ displaystyle { frac { exp (я { boldsymbol { mu}} ' mathbf {t})} {1 + { tfrac {1} {2}} mathbf {t}' { boldsymbol { Sigma}} mathbf {t}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2c0409bb9e0429d3d6bf0b722d96bb76434ff0f) |
---|
Многомерный Лаплас (асимметричный)Параметры | μ ∈ рk — место расположения Σ ∈ рк × к — ковариация (положительно определенная матрица ) |
---|
Поддерживать | Икс ∈ μ + промежуток (Σ) ⊆ рk |
---|
PDF | ![{ displaystyle { frac {2e ^ { mathbf {x} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} { boldsymbol { mu}}}} {(2 pi) ^ { frac { k} {2}} | { boldsymbol { Sigma}} | ^ {0.5}}} { Big (} { frac { mathbf {x} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} mathbf {x}} {2 + { boldsymbol { mu}} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} { boldsymbol { mu}}}} { Big)} ^ { frac {v} {2}} K_ {v} { Big (} { sqrt {(2 + { boldsymbol { mu}} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} { boldsymbol { mu}}) ( mathbf {x} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} mathbf {x})}} { Big)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4427be2227df1f5a361dbbb85cfb1625e8ba14d2) куда и это модифицированная функция Бесселя второго рода. |
---|
Иметь в виду | μ |
---|
Дисперсия | Σ + μ ' μ |
---|
Асимметрия | ненулевой, если только μ=0 |
---|
CF | ![{ displaystyle { frac {1} {1 + { tfrac {1} {2}} mathbf {t} '{ boldsymbol { Sigma}} mathbf {t} -i { boldsymbol { mu} } mathbf {t}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84780db4d1191753eed568fb94a9568a8bb70c9) |
---|
В математической теории вероятностей многомерные распределения Лапласа являются продолжением Распределение Лапласа и асимметричное распределение Лапласа к нескольким переменным. В маржинальные распределения симметричных многомерных переменных распределения Лапласа являются распределениями Лапласа. Маргинальные распределения асимметричных многомерных переменных распределения Лапласа являются асимметричными распределениями Лапласа.[1]
Симметричное многомерное распределение Лапласа
Типичная характеристика симметричного многомерного распределения Лапласа имеет характеристическая функция:
![{ displaystyle varphi (t; { boldsymbol { mu}}, { boldsymbol { Sigma}}) = { frac { exp (я { boldsymbol { mu}} ' mathbf {t}) } {1 + { tfrac {1} {2}} mathbf {t} '{ boldsymbol { Sigma}} mathbf {t}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/542c5343d4bf0b92983cb80748b94781306e5931)
куда
вектор средства для каждой переменной и
это ковариационная матрица.[2]
в отличие от многомерное нормальное распределение, даже если ковариационная матрица имеет нулевой ковариация и корреляция переменные не независимы.[1] Симметричное многомерное распределение Лапласа имеет вид эллиптический.[1]
Функция плотности вероятности
Если
, то функция плотности вероятности (pdf) для k-мерное многомерное распределение Лапласа принимает вид:
![{ displaystyle f _ { mathbf {x}} (x_ {1}, ldots, x_ {k}) = { frac {2} {(2 pi) ^ {k / 2} | { boldsymbol { Sigma}} | ^ {0.5}}} left ({ frac { mathbf {x} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} mathbf {x}} {2}} right) ^ {v / 2} K_ {v} left ({ sqrt {2 mathbf {x} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} mathbf {x}}} right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22102a4f87f842f540d8350b3c2d6fb1f5e9eabe)
куда:
и
это модифицированная функция Бесселя второго рода.[1]
В коррелированном двумерном случае, т. Е. k = 2, причем
PDF-файл сокращается до:
![{ displaystyle f _ { mathbf {x}} (x_ {1}, x_ {2}) = { frac {1} { pi sigma _ {1} sigma _ {2} { sqrt {1- rho ^ {2}}}}} K_ {0} left ({ sqrt { frac {2 left ({ frac {x_ {1} ^ {2}} { sigma _ {1} ^ { 2}}} - { frac {2 rho x_ {1} x_ {2}} { sigma _ {1} sigma _ {2}}} + { frac {x_ {2} ^ {2}} { sigma _ {2} ^ {2}}} right)} {1- rho ^ {2}}}} right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7e64aa8314ca0130f9f473f3e896e3fa0442df)
куда:
и
являются Стандартное отклонение из
и
соответственно и
это коэффициент корреляции из
и
.[1]
Для независимого двумерного случая Лапласа, то есть k = 2,
и
, PDF-файл становится:
[1]
Асимметричное многомерное распределение Лапласа
Типичная характеристика асимметричного многомерного распределения Лапласа имеет вид характеристическая функция:
[1]
Как и в случае с симметричным многомерным распределением Лапласа, асимметричное многомерное распределение Лапласа имеет среднее значение
, но ковариация становится
.[3] Асимметричное многомерное распределение Лапласа не является эллиптическим, если только
, и в этом случае распределение сводится к симметричному многомерному распределению Лапласа с
.[1]
В функция плотности вероятности (pdf) для k-мерное асимметричное многомерное распределение Лапласа:
![{ displaystyle f _ { mathbf {x}} (x_ {1}, ldots, x_ {k}) = { frac {2e ^ { mathbf {x} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} { boldsymbol { mu}}}} {(2 pi) ^ {k / 2} | { boldsymbol { Sigma}} | ^ {0.5}}} { Big (} { frac { mathbf {x} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} mathbf {x}} {2 + { boldsymbol { mu}}' { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} { boldsymbol { mu}}}} { Big)} ^ {v / 2} K_ {v} { Big (} { sqrt {(2 + { boldsymbol { mu}} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} { boldsymbol { mu}}) ( mathbf {x} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} mathbf {x})}} { Big)} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6568ad44da1d2ad189678c7f024ef250eb97f8eb)
куда:
и
это модифицированная функция Бесселя второго рода.[1]
Асимметричное распределение Лапласа, включая частный случай
, является примером геометрическое устойчивое распределение.[3] Он представляет собой предельное распределение для суммы независимые, одинаково распределенные случайные величины с конечной дисперсией и ковариацией, где количество суммируемых элементов само по себе является независимой случайной величиной, распределенной в соответствии с геометрическое распределение.[1] Такие геометрические суммы могут возникать в практических приложениях в биологии, экономике и страховании.[1] Распределение также может быть применимо в более широких ситуациях для моделирования многомерных данных с более тяжелыми хвостами, чем нормальное распределение, но конечным моменты.[1]
Отношения между экспоненциальное распределение и Распределение Лапласа позволяет использовать простой метод моделирования двумерных асимметричных переменных Лапласа (в том числе для случая
). Моделируйте двумерный нормальный вектор случайных величин
из раздачи с
и ковариационная матрица
. Независимо моделируйте экспоненциальные случайные величины W из распределения Exp (1).
будет распределенным (асимметричным) двумерным Лапласом со средним
и ковариационная матрица
.[1]
Рекомендации
|
---|
Дискретный одномерный с конечной опорой | |
---|
Дискретный одномерный с бесконечной поддержкой | |
---|
Непрерывный одномерный поддерживается на ограниченном интервале | |
---|
Непрерывный одномерный поддерживается на полубесконечном интервале | |
---|
Непрерывный одномерный поддерживается на всей реальной линии | |
---|
Непрерывный одномерный с поддержкой, тип которой варьируется | |
---|
Смешанная непрерывно-дискретная одномерная | |
---|
Многовариантный (совместный) | |
---|
Направленный | |
---|
Вырожденный и единственное число | |
---|
Семьи | |
---|